[leetcode 63] 不同路徑 II（Python 動態規劃+滾動數組優化）

題目描述

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記爲“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記爲“Finish”）。

現在考慮網格中有障礙物。那麼從左上角到右下角將會有多少條不同的路徑？

網格中的障礙物和空位置分別用 1 和 0 來表示。

說明：m 和 n 的值均不超過 100。

示例 1:

輸入: [ [0,0,0], [0,1,0], [0,0,0] ]
輸出: 2
解釋:
3x3 網格的正中間有一個障礙物。
從左上角到右下角一共有 2 條不同的路徑：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii

解題思路

我們用 $f(i, j)$ 來表示從座標 $(0, 0)$ 到座標 $(i, j)$ 的路徑總數，$u(i, j)$ 表示座標 $(i, j)$ 是否可行，如果座標 $(i, j)$ 有障礙物，$u(i, j) = 0$，否則 $u(i, j) = 1$。

因爲機器人每次只能向下或者向右移動一步，所以$(0, 0)$ 到座標 $(i, j)$ 的路徑總數的值只取決於從座標 $(0, 0)$ 到座標 $(i - 1, j)$ 的路徑總數和從座標 $(0, 0)$ 到座標 $(i, j - 1)$ 的路徑總數，即 $f(i, j)$ 只能通過 $f(i - 1, j)$ 和 $f(i, j - 1)$ 轉移得到。

當座標 $(i, j)$ 本身有障礙的時候：任何路徑都到到不了 $f(i, j)$，此時 $f(i, j) = 0$。
當座標 $(i, j)$ 沒有障礙的時候：如果座標 $(i - 1, j)$ 沒有障礙，那麼就意味着從座標 $(i - 1, j)$ 可以走到 $(i, j)$ ，即 $(i - 1, j)$ 位置對 $f(i, j)$ 的貢獻爲 $f(i - 1, j)$ ；同理，當座標 $(i, j - 1)$ 沒有障礙的時候，$(i, j - 1)$ 位置對 $f(i, j)$ 的貢獻爲 $f(i, j - 1)$ 。

綜上所述，我們可以得到這樣的動態規劃轉移方程：
$f(i, j)=\left\{\begin{aligned} 0, & u(i, j)=0 \\ f(i-1, j)+f(i, j-1), & u(i, j) \neq 0 \end{aligned}\right.$
由於這裏 $f(i, j)$ 只與 $f(i - 1, j)$ 和 $f(i, j - 1)$ 相關，我們可以運用滾動數組思想把空間複雜度優化稱 $O(m)$。

滾動數組思想是一種常見的動態規劃優化方法，在題目中已經多次使用到，例如「劍指 Offer 46. 把數字翻譯成字符串」、「70. 爬樓梯」等，當定義的狀態在動態規劃的轉移方程中只和某幾個狀態相關的時候，就可以考慮這種優化方法，目的是給空間複雜度「降維」。

- 複雜度分析

• 時間複雜度：$O(nm)$，其中 $n$ 爲網格的行數，$m$ 爲網格的列數。我們只需要遍歷所有網格一次即可。
• 空間複雜度：$O(m)$。利用滾動數組優化，我們可以只用 $O(m)$ 大小的空間來記錄當前行的 $f$ 值。

代碼實現

class Solution(object):
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
        """
        :type obstacleGrid: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        m = len(obstacleGrid)
        n = len(obstacleGrid[0])
        dp = [1] + [0]*(n-1)
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if j == 0:
                    dp[j] = 0 if obstacleGrid[i][j] else dp[j]
                else:
                    dp[j] = 0 if obstacleGrid[i][j] else dp[j] + dp[j-1]
        return dp[-1]

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Tips

怎麼想到用動態規劃來解決這個問題呢？我們需要從問題本身出發，尋找一些有用的信息，例如本題中：

• $(i, j)$ 位置只能從 $(i - 1, j)$ 和 $(i, j - 1)$ 走到，這樣的條件就是在告訴我們這裏轉移是 無後效性 的，$f(i, j)$ 和任何的 $f(i', j')(i' > i, j' > j)$ 無關。
• 動態規劃的題目分爲兩大類，一種是求最優解類，典型問題是揹包問題，另一種就是計數類，比如這裏的統計方案數的問題，它們都存在一定的遞推性質。前者的遞推性質還有一個名字，叫做 最優子結構 ——即當前問題的最優解取決於子問題的最優解，後者類似，當前問題的方案數取決於子問題的方案數。所以在遇到求方案數的問題時，我們可以往動態規劃的方向考慮。
  通常如果我們察覺到了這兩點要素，這個問題八成可以用動態規劃來解決。

根據官方題解總結。

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$Author: Chier$