leetcode:不同的二叉搜索樹

題目來源：力扣

題目介紹：

給定一個整數 n，求以 1 … n 爲節點組成的二叉搜索樹有多少種？
示例:
輸入: 3
輸出: 5
解釋:
給定 n = 3, 一共有 5 種不同結構的二叉搜索樹.

審題：

考慮對於從$i$到$j$的節點序列，我們可以選擇$i$到$j$的任意一個值作爲二叉搜索樹根節點，假設選擇$k$作爲根節點，則此時左子樹的有節點序列$i$到$k-1$構成，右子樹由節點$k+1$到$j$構成．假設我們節點序列$i$到$k-1$共有$m$種不同形式的二叉搜索樹形式，節點序列$k+1$到$j$共有$n$種不同形式的二叉搜索樹，則我們選擇$k$作爲根節點，可以得到$mn$種不同的二叉搜索樹形式．而節點序列$i$到$j$可能構成的二叉搜索樹個數選擇不同根節點$k$得到的二叉樹個數之和．

事實上，我們可以發現，該問題並不涉及最優性問題，因爲爲了計算所有可能的二叉樹種類，我們需要計算每一個可能的根節點位置選擇方案下，所可能產生的二叉搜索樹個數，在這一步中，並不存在最優選擇，而是將所有選擇結果相加．但由於子問題存在重疊，因此我們仍然可以考慮使用動態規劃算法解決該問題．

爲了求解長度爲$k$的節點序列可能產生的二叉搜索樹總個數，我們需要已知所有長度小於$k$的節點序列所可能產生的二叉搜索樹個數，此時的基礎情形便是長度爲１或長度爲０的情形．如果當前節點序列長度爲０或１，則此時的二叉搜索樹只有一種形式．
我們使用二維數組存儲每一狀態下,總方案.在該問題中,狀態包括節點序列的起點與終點$S[i[j]$表示節點序列$i, i+1, ...j-1$所能構長的二叉搜索樹個數.

以上是我一開始面對該問題時所提出的方法, 後面我進一步思考發現,二叉搜索樹的可能個數與當前節點序列的值並無關係,僅與當前節點序列的長度有關.因此,我們可以進一步簡化動態規劃算法. 此時,當前的狀態變量爲節點序列的長度$l$, 我們可以在每一步選擇左子樹的大小,其取值範圍從$0$到$l-1$. 我們使用一維數組S存儲當前狀態下二叉搜索樹可能個數, 我們可以得到如下狀態轉移方程:
$S[l] = sum\{S[left] + S[l-left-1] , 0 \leq left \leq l-1 \}$

java算法:

方法一

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        //S[i][j]表示以i...j-1爲節點組成的二叉搜索樹共有多少種
        //如果根節點選爲ｋ, 則S[i][k] + S[k+1][j]

        int[][] S = new int[n+2][n+3];

        //basecase
        for(int i = 1; i < n+2; i++){
            S[i][i] = 1;
            S[i][i+1] = 1;
        }

        //如果計算長度爲ｋ的節點所能組成的二叉樹，　我們應當計算確定所有長度小於ｋ的節點序列所能組成的二叉樹

        for(int len = 2; len <= n; len++){
            for(int left = 1; left <= n-len+1; left++ ){
                int right = left+len;
                int total = 0;
                for(int root = left; root < right; root++){
                    total += (S[left][root] * S[root+1][right]);
                }
                S[left][right] = total;
            }
        }
        return S[1][n+1];
    }
}

方法二:

class Solution {
    public int numTrees(int n) {

        int[] S = new int[n+1];

        S[0] = 1;
        S[1] = 1;

        //如果計算長度爲ｋ的節點所能組成的二叉樹，　我們應當計算確定所有長度小於ｋ的節點序列所能組成的二叉樹

        for(int len = 2; len <= n; len++){
            int total = 0;
            for(int leftSize = 0; leftSize < len; leftSize++){
                total += S[leftSize] * S[len-leftSize-1];
            }
            S[len] = total;
        }
        return S[n];
    }
}