leetcode:按摩師

題目來源:力扣

題目介紹:

一個有名的按摩師會收到源源不斷的預約請求，每個預約都可以選擇接或不接。在每次預約服務之間要有休息時間，因此她不能接受相鄰的預約。給定一個預約請求序列，替按摩師找到最優的預約集合（總預約時間最長），返回總的分鐘數。
注意：本題相對原題稍作改動
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示例 1：
輸入： [1,2,3,1]
輸出： 4
解釋： 選擇 1 號預約和 3 號預約，總時長 = 1 + 3 = 4。
示例 2：
輸入： [2,7,9,3,1]
輸出： 12
解釋： 選擇 1 號預約、 3 號預約和 5 號預約，總時長 = 2 + 9 + 1 = 12。
示例 3：
輸入： [2,1,4,5,3,1,1,3]
輸出： 12
解釋： 選擇 1 號預約、 3 號預約、 5 號預約和 8 號預約，總時長 = 2 + 4 + 3 + 3 = 12。=============================================================

審題:

首先介紹一下我自己的思路,該思路時間時間複雜度爲$O(N^2)$,而官方題解給出的最優解法時間複雜度爲$O(N)$.

我們記$S[0]$爲數組a[0:n]中最佳預約序列的總時長,假設當前第k個活動爲最佳預約序列的第一個預約.我們可以推導出如下最優子結構:$S[0] = T[k] +S[K+2]$,其中T[k]爲ｋ號預約的時長．若當前共有ｎ個活動，則$S[n-1] = T[n-1]$.我們不難發現各子問題間存在重疊部分，因此我們可以使用動態規劃算法解決該問題．基於以上最優子結構設計，我們的算法中需要解決的子問題個數共有Ｏ(N)個，而每一子問題的選擇有O(N)個，因此該算法的時間複雜度爲$O(N^2)$.

從另一個角度構建最優子結構，即$S[k]$爲數組[0,k]的最長預約時間，當前$S[k]$可能由兩種情況轉移而來，選擇第ｋ個預約活動與不選擇第ｋ個預約活動：
１）如果選擇第ｋ個預約活動，則$S[k] = S[k-2] + T[k]$
２）如果不選擇第ｋ個預約活動，則$S[k] = S[k-1]$
因此，$S[k] = max\{S[k-2] + T[k], S[k-1]\}$
基於以上最優子結構，我們的算法需要解決的子問題爲O(N)，每一子問題的選擇爲O(1)，因此該算法的時間複雜度爲O(N).

由於當前活動最多僅與前其兩步活動有關，因此我們在計算S[k]時，無需知道S[k-2],…S[0]，基於此，我們不需要使用Ｏ(N)的空間複雜度，我們僅需使用大小爲３的數組保存當前最近３個活動值即可．

java算法：

$O(N^2)$時間複雜度

class Solution {
    public int massage(int[] nums) {
        if(nums.length == 0)
            return 0;
        int[] S = new int[nums.length+2];

        S[nums.length+1] = 0;
        S[nums.length] = 0;
        S[nums.length-1] = nums[nums.length-1];
        for(int i = nums.length-2; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < nums.length; j++){
                S[i] = Math.max(S[i], nums[j] + S[j+2]);
            }
        }
		return S[0];
    }
}

$O(N)$時間複雜度

class Solution {
    //S[i]表示數組[0, i]的最長預約時間
    //Ｓ[i]可能包含兩種情況，　第ｉ個活動預約，第ｉ個活動不預約
    //如果第ｉ個活動預約，　則S[i] ＝　S[i-2] + T[i]
    //如果第ｉ個活動不預約，　則Ｓ[i] = S[i-1]
    //其中Ｓ[0] = T[0]
    //S[1] = max{T[0], T[1]}

    public int massage(int[] nums) {
        if(nums.length == 0)
            return 0;
        if(nums.length == 1)
            return nums[0];
        int[] S = new int[nums.length];
        S[0] = nums[0];
        S[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
        for(int i = 2; i < nums.length; i++)
            S[i] = Math.max(S[i-2]+nums[i], S[i-1]);
        return S[S.length-1];
    }
}

時間複雜度$O(N)$，空間複雜度$O(1)$

class Solution {
    //S[i]表示數組[0, i]的最長預約時間
    //Ｓ[i]可能包含兩種情況，　第ｉ個活動預約，第ｉ個活動不預約
    //如果第ｉ個活動預約，　則S[i] ＝　S[i-2] + T[i]
    //如果第ｉ個活動不預約，　則Ｓ[i] = S[i-1]
    //其中Ｓ[0] = T[0]
    //S[1] = max{T[0], T[1]}

    public int massage(int[] nums) {
        if(nums.length == 0)
            return 0;
        if(nums.length == 1)
            return nums[0];
        int[] S = new int[3];
        S[0] = nums[0];
        S[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
        for(int i = 2; i < nums.length; i++)
            S[i%3] = Math.max(S[(i-2)%3]+nums[i], S[(i-1)%3]);
        return S[(nums.length-1) % 3];
    }
}