PHP算法：斐波那契數列的N種算法

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前言

前段時間，遇到優化計算斐波那契數列的常規遞歸方法，但是一時間並沒有及時想到很好的方法，所以後面查找了相關資料，總結了多種計算解法，所以分享出來，和大家一起交流學習。

斐波那契數是什麼

斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖爲例子而引入，故又稱爲“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波那契數列以如下被以遞推的方法定義：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）。

知道了斐波那契數，那麼下面我們就用多種不同的方法來計算獲取第N位斐波那契數。

普通遞歸

這種方法是最常規的，直接根據定義F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)遞歸計算即可，但是性能是最低的。

/**
 * 普通遞歸
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib($n = 1)
{
    // 低位處理
    if ($n < 3) {
        return 1;
    }
    // 遞歸計算前兩位
    return fib($n - 1) + fib($n - 2);
}

遞歸優化

從上面的遞歸方法可以看到，進行了很多的重複計算，性能極差，如果N越大，計算的次數太可怕了，那麼，既然因爲重複計算影響了性能，那麼優化就從減少重複計算入手，即把之前計算的存儲起來，這樣就避免了過多的重複計算，優化了遞歸算法。

/**
 * 遞歸優化
 * @param int $n
 * @param int $a
 * @param int $b
 * @return int
 */
function fib_2($n = 1, $a = 1, $b = 1)
{
    if ($n > 2) {
        // 存儲前一位，優化遞歸計算
        return fib_2($n - 1, $a + $b, $a);
    }
    return $a;
}

記憶化自底向上

自底向上通過迭代計算斐波那契數的子問題並存儲已計算的值，通過已計算的值進行計算。使用for循環，減少遞歸帶來的重複計算問題。

/**
 * 記憶化自底向上
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib_3($n = 1)
{
    $list = [];
    for ($i = 0; $i <= $n; $i++) {
        // 從低到高位數，依次存入數組中
        if ($i < 2) {
            $list[] = $i;
        } else {
            $list[] = $list[$i - 1] + $list[$i - 2];
        }
    }
    // 返回最後一個數，即第N個數
    return $list[$n];
}

自底向上進行迭代

最低位初始化賦值，使用for從低位到高位迭代計算，從而得到第N個數。
/**
 * 自底向上進行迭代
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib_4($n = 1)
{
    // 低位處理
    if ($n <= 0) {
        return 0;
    }
    if ($n < 3) {
        return 1;
    }
    $a = 0;
    $b = 1;
    // 循環計算
    for ($i = 2; $i < $n; $i++) {
        $b = $a + $b;
        $a = $b - $a;
    }
    return $b;
}

公式法

通過了解斐波那契序列和黃金分割比之間的關係，使用黃金分割率計算第N個斐波那契數。

/**
 * 公式法
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib_5($n = 1)
{
    // 黃金分割比
    $radio = (1 + sqrt(5)) / 2;
    // 斐波那契序列和黃金分割比之間的關係計算
    $num = intval(round(pow($radio, $n) / sqrt(5)));
    return $num;
}

無敵欠揍法

這個方法，我就不多說了吧，大家都懂的，但是千萬別輕易嘗試……

/**
 * 無敵欠揍法
 * @param int $n
 * @return int
 */
function fib_6($n = 1)
{
    // 列舉了30個數
    $list = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269];
    return $list[$n];
}

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原文發佈時間：2020-07-08
本文作者：gxcuizy
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