斐波那契查找不再迷惑

裴波那契查找的來源

裴波那契數列是一串按照F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）這一條件遞增的一串數字：

1、1、2、3、5、8、13、21 ... ...

兩個相鄰項的比值會逐漸逼近0.618 —— 黃金分割比值。這個非常神奇的數列在物理，化學等各大領域上有相當的作用， 於是大家想： 能不能把它用在查找算法上嘞？？

 

於是就有了裴波那契查找算法，
裴波那契數列最重要的一個性質是每個數都等於前兩個數之和（從第三個數字開始）。
也就是一個長度爲f(n)的數組，它能被分成f(n-1)和f(n-2)這兩半，
而f(n-1)又能被分爲f(n-2)和f(n-3)這兩半。。。直到分到1和1爲止（f(1)和f(2)）。

（注意一個細節： 在分割時，可以選擇將“大塊”的f(n-1)放前面部分，也可以將“小塊”的f(n-2)放前面，我下面的分割都是按照“大塊”在前進行的）

 

這裏我們發現，二分查找， 插值查找和裴波那契查找的基礎其實都是：對數組進行分割， 只是各自的標準不同： 二分是從數組的一半分， 插值是按預測的位置分， 而裴波那契是按它數列的數值分。

 

三個數組以及它們之間的關係。

瞭解裴波那契查找的算法實現， 最重要的是理解“三個數組”之間的關係，它們分別是：

• 待查找數組 (a)
• 裴波那契數組(fiboArray)
• 填充後數組(filledArray)

裴波那契數組

要按裴波那契數分割， 我們當然要創建一個容納有裴波那契數的數組，那麼，怎麼確定這個數組的長度呢？ 或者說， 怎麼確定數組裏裴波那契數的最大值呢？（最後一個值）

 

答：只要剛好能滿足我們的需要就可以了，裴波那契數組的長度，取的是大於等於待查找數組長度的最小值。原數組長4則取5，長6則取8，長13取13（1、1、2、3、5、8、13、21 ）

 

填充數組

其次我們要考慮的是： 我們的數組長度不可能總是滿足裴波那契數的， 例如5、8、13、21等是裴波那契數， 但我們的數組長度可能是6,7,10這些非裴波那契數， 那這時候怎麼辦呢？ 總不能對長度爲10的待查找數組按照8和13進行第一次分割吧， 所以我們應該按照上面選定的裴波那契數組的最大值， 創建一個等於該長度的填充數組， 將待查找數組的元素依次拷貝到填充數組中， 剩下的部分用原待查找數組的最大值填滿。

 

我們進行查找操作的並不是原待排序數組， 而是對應的填充數組！

 

查找到填充的部分元素如何處理？

當我們在填充數組中查找成功後，該元素可能來源於在原數組的基礎上填充的部分元素（上圖黃色9）， 返回的下標(10,11,12)顯然是不準確的，而應該返回原數組的最後一個元素的下標(9) 。

 

所以，解決方法就是： 在填充數組中查找成功後， 判斷返回的元素下標和原數組長度的關係，如果：返回下標 > 原數組長度 - 1, 那麼改爲返回原數組最後一個元素下標就OK了。

 

查找過程

OK，有了上面的基礎我們總結下查找的過程：

1. 根據待查找數組長度確定裴波那契數組的長度（或最大元素值）
2. 根據1中長度創建該長度的裴波那契數組，再通過F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)生成裴波那契數列爲數組賦值
3. 以2中的裴波那契數組的最大值爲長度創建填充數組，將原待排序數組元素拷貝到填充數組中來， 如果有剩餘的未賦值元素， 用原待排序數組的最後一個元素值填充
4. 針對填充數組進行關鍵字查找， 查找成功後記得判斷該元素是否來源於後來填充的那部分元素

 

具體代碼

package find;

import java.util.Scanner;

public class FibonacciSearch {

    public static void main(String[] args) {
        int[] a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
        System.out.println("請輸入想要查找的數值：");
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int key=sc.nextInt();
        int s=search(a,key);
        if(s==-1){
            System.out.println("沒有這個數據");
        }else{
            System.out.println("查到數據下標爲"+s);
            System.out.println("查到數據爲第"+(s+1)+"個數");
        }
    }
    /**
     * @param a: 待查找的數組
     * @description: 創建最大值剛好>=待查找數組長度的裴波納契數組
     */
    private static int[] makeFiboArray(int[] a) {
        int N = a.length;
        int first = 1, sec = 1, third = 2, fbLength = 2;
        int higt = a[N - 1];
        while (third < N) {        // 使得裴波那契數不斷遞增，直到值剛好大於等於原數組長度爲止
            third = first + sec;   // 根據f(n) = f(n-1)+ f(n-2)計算
            first = sec;
            sec = third;
            fbLength++;// 計算最後得到的裴波那契數組的長度
        }
        int[] fb = new int[fbLength];  // 根據上面計算的長度創建一個空數組
        fb[0] = 1;    // 第一和一二個數是迭代計算裴波那契數的基礎
        fb[1] = 1;
        for (int i = 2; i < fbLength; i++) {
            fb[i] = fb[i - 1] + fb[i - 2];  // 將計算出的裴波那契數依次放入上面的空數組中
        }
        return fb;
    }

    /**
     * @description: 裴波那契查找
     */
    public static int search(int[] a, int key) {
        int low, high;
        int lastA;
        int[] fiboArray = makeFiboArray(a);//// 創建最大值剛好>=待查找數組長度的裴波納契數組
        int filledLength = fiboArray[fiboArray.length - 1];//創建填充數組長度
        int[] filledArray = new int[filledLength];// 創建長度等於裴波那契數組最大值的填充數組
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            filledArray[i] = a[i];// 將原待排序數組的元素都放入填充數組中
        }
        lastA = a[a.length - 1];//// 原待排序數組的最後一個值
        for (int i = a.length; i < filledLength; i++) {
            filledArray[i] = lastA;//// 如果填充數組還有空的元素，用原數組最後一個元素值填滿
        }
        low = 0;
        high = a.length; // 取得原待排序數組的長度 （注意是原數組！）
        int mid;
        int k = fiboArray.length - 1;
        while (low <= high) {
            mid = low + fiboArray[k - 1] - 1;
            if (key < filledArray[mid]) {
                high = mid - 1;//排除右半邊的元素
                k = k - 1;//f(k-1)是左半邊的長度
            } else if (key > filledArray[mid]) {
                low = mid - 1;//排除左半邊的元素
                k = k - 2;//f(k-2)是右半邊的長度
            } else {
                if (mid > high) {//說明取得了填充數組末尾的重複元素了
                    return high;
                } else {
                    return mid;//說明沒有取到填充數組末尾的重複元素
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

 

點擊這裏在線運行代碼

斐波那契查找的軌跡

不依賴數組的斐波那契查找

我百度“斐波那契查找”的時候， 一大部分基於數組實現的代碼都是創建了一個長度固定爲20的斐波那契數組。

 

而第20個斐波那契數是6765，所以這樣的代碼只能處理長度小於等於6765的數組。

 

於是就有了另一種編寫斐波那契數組的方法： 不依賴數組的編碼方法

 

請點這裏：

不依賴數組的斐波那契查找

 

 

說一下這種方法和我上面介紹的方法的不同點

• 我上面介紹的版本： 先把斐波那契數算出來，再全部用數組存起來， 要用的時候直接從數組裏拿就可以了
• 這個版本： 不用數組存， 只算出來需要的最大的斐波那契數， 要用的時候“臨時”計算就可以了

 

 

二分，插值和裴波納契查找的性能比較

 

二分查找：

二分查找的軌跡可以用一顆判定樹來表示，例如：將下面的[20,30,40,50,80,90,100]表示爲一顆判定樹， 因爲一開始查找的是位於整個數組1/2 位置的元素50， 所以將50置於根元素位置， 接下來查找的是30或90，所以放到50的子節點的位置。

 

 

 

 

結合一個結論：具有n個節點的判定樹的深度爲logn2 + 1, 所以二分查找時候比較次數最多爲logn2 + 1,

 

插值查找

上面也說過了，插值查找只適用於關鍵字均勻分佈的表，在這種情況下， 它的平均性能比二分查找好，在關鍵字不是均勻分佈時， 它的性能表現就不足人意了。

 

斐波那契查找

斐波那契查找的平均性能比二分查找好， 但最壞情況下的性能（雖然仍然是O(logn)）卻比二分查找差，它還有一個優點就是分割時候只需進行加減運算（二分和插值都有乘/除）