1. 题目
题目链接：P2418「yyy loves OI IV」 。
题目背景
某校2015届有两位OI神牛，yyy和c01。
题目描述
全校除他们以外的N名学生，每人都会膜拜他们中的某一个人。现在老师要给他们分宿舍了。但是，问题来了：
同一间宿舍里的人要么膜拜同一位大牛，要么膜拜yyy和c01的人数的差的绝对值不超过M。否则他们就会打起来。
为了方便，老师让N名学生站成一排，只有连续地站在一起的人才能分进同一个宿舍。
假设每间宿舍能容纳任意多的人，请问最少要安排几个宿舍？
输入格式
第一行，两个正整数N和M。
第2……N+1行，每行一个整数1或2，第i行的数字表示从左往右数第i-1个人膜拜的大牛。
1表示yyy，2表示c01。
输出格式
一行，一个整数，表示最少要安排几个宿舍。
输入输出样例
输入 #1
5 1
1
1
2
2
1
输出 #1
1
说明/提示
难度题，做好心理准备~
| 测试点编号 | N的范围 | M的范围 |
|---|---|---|
| 1~3 | <=2,500 | <=10 |
| 4~5 | <=500,000 | <=10 |
| 6~10 | <=500,000 | <=2,000 |
2. 题解
分析
从第一个同学开始，逐步往最后一个同学扫描；易知除了最后一个宿舍，其余宿舍：
- 要么全部膜拜同一个大佬
- 要么二者数量之差的绝对值等于 M
设 dp[i] 表示处理完前 i 个同学至少需要的宿舍数量，stu[i] 表示第 i 个同学的膜拜的大佬（-1 代表 1， 1 代表 2），sum[i] = stu[i] 表示前 i 个同学膜拜的大佬的代数数量和（即膜拜两位大佬的数量之差，这便是将 1 和 2 映射为 -1 和 1 的原因：方便处理），ump[u] 表示对于当前输入，膜拜者二者数量相差绝对值为 u 时所需的最少宿舍数量（由于 u 的取值范围较大，故选择 unordered_map 来实现存储记录）。
【注】可以设定 ump[u] 的原因在于，最优情况下，所有宿舍出现的情况是一样的，即膜拜一者的同学大于等于膜拜另一者的同学且膜拜数量较大的一者都是一样的（不然由于宿舍数量没有上限，则可以合并相邻膜拜者数量较大的一者不同的宿舍，仍然满足题意条件）。
对于第一种情况：可以通过设定记录上一个不同记录值的位置来实现；即 dp[i] <= dp[last] + 1 ，其中 last 为与当前 stu[i] 膜拜大佬相对的上一个同学的位置。即处理到当前同学，最多比上一个道不同的同学的宿舍数量多一（因为此时两者之间的同学膜拜的都是同一个大佬）。
对于第二种情况：dp[i] <= ump[abs(sum[i]) - M] + 1 ，即至少小于等于比现在少 M 个数量差的情况下所需最少宿舍数量 + 1 。
因此，对于 u <= 0 而言，ump[u] = 0 。因为 abs(sum[i]) - M <= 0 说明此时膜拜二者的数量差还没有超过 M ，因此此时最多需要 1 个宿舍，即 ump[abs(sum[i]) - M] = 0 。
综合二者，则可以列出状态转移方程：
dp[i] = min(dp[last]+1, ump[abs(sum[i]) - M] + 1)。最终结果即为 dp[n] 。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5;
int stu[MAXN], sum[MAXN], dp[MAXN];
//终极快读
char buf[1<<22],*p1=buf,*p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<22,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
//快读
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')
f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
void input(int n) {
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
int a = read();
stu[i] = 2*a - 3;
}
}
int myabs(int x) {
return x < 0 ? -x : x;
}
void init(int n) {
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
sum[i] = sum[i-1] + stu[i];
}
}
unordered_map <int,int> ump;
void update(int u, int x) {
if(u > 0) {
if(ump.count(u) == 0) {
ump[u] = x;
} else {
ump[u] = min(ump[u], x);
}
}
}
int query(int u) {
if(ump.count(u) == 0) {
if(u <= 0) {
return 0;
} else {
return MAXN;
}
}
return ump[u];
}
int answer(int n, int m) {
int last1 = 0, last2 = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(stu[i] == 1) {
dp[i] = dp[last2] + 1;
last1 = i;
} else {
dp[i] = dp[last1] + 1;
last2 = i;
}
dp[i] = min(dp[i], query(myabs(sum[i])-m)+1);
update(myabs(sum[i]), dp[i]);
}
return dp[n];
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
input(n);
init(n);
printf("%d\n", answer(n,m));
return 0;
}