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486. 預測贏家
同一類型的題目：877. 石子游戲
題目描述
給定一個表示分數的非負整數數組。 玩家 1 從數組任意一端拿取一個分數，隨後玩家 2 繼續從剩餘數組任意一端拿取分數，然後玩家 1 拿，…… 。每次一個玩家只能拿取一個分數，分數被拿取之後不再可取。直到沒有剩餘分數可取時遊戲結束。最終獲得分數總和最多的玩家獲勝。
給定一個表示分數的數組，預測玩家1是否會成爲贏家。你可以假設每個玩家的玩法都會使他的分數最大化。
示例 1：
輸入：[1, 5, 2]
輸出：False
解釋：一開始，玩家1可以從1和2中進行選擇。
如果他選擇 2（或者 1 ），那麼玩家 2 可以從 1（或者 2 ）和 5 中進行選擇。如果玩家 2 選擇了 5 ，那麼玩家 1 則只剩下 1（或者 2 ）可選。
所以，玩家 1 的最終分數爲 1 + 2 = 3，而玩家 2 爲 5 。
因此，玩家 1 永遠不會成爲贏家，返回 False 。
示例 2：
輸入：[1, 5, 233, 7]
輸出：True
解釋：玩家 1 一開始選擇 1 。然後玩家 2 必須從 5 和 7 中進行選擇。無論玩家 2 選擇了哪個，玩家 1 都可以選擇 233 。
最終，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）獲得更多的分數，所以返回 True，表示玩家 1 可以成爲贏家。
提示：
1 <= 給定的數組長度 <= 20.
數組裏所有分數都爲非負數且不會大於 10000000 。
如果最終兩個玩家的分數相等，那麼玩家 1 仍爲贏家。
解題思路
先理解遞歸再去理解動態規劃
1.遞歸
2.動態規劃
可以通過簡單的例子[1,5]、[1,2,5]對動態規劃進行理解
DP動態規劃是從下往上，填表的順序也能反映出來。
解釋1.1
對於偶數個數字的數組，玩家1一定獲勝。因爲如果玩家1選擇拿法A，玩家2選擇拿法B，玩家1輸了。則玩家1換一種拿法選擇拿法B，因爲玩家1是先手，所以玩家1一定可以獲勝。
- 對於只有一個數字的子數組,即
i=j，dp[i，i] = num[i]，因爲玩家1先手拿了這一個分數，玩家2就沒得拿了，所以是最優拿法。 - 對於兩個數字的子數組,即
j-i=1，dp[i，j]=abs(num[i]-num[j]),玩家1先手拿兩個數中大的一個，所以玩家1一定比玩家2多兩個數字差的絕對值，爲最優拿法。 - 對於j-i>1的子數組，如果玩家1先手拿了i，則玩家1手裏有num[i]分，則玩家2一定會按照
[i+1..j]這個子數組中的最優拿法去拿，於是玩家2此時手裏相當於有dp[i+1，j]分，於是玩家1比玩家2多num[i]-dp[i+1，j]分。如果玩家1先手拿了j，則玩家1手裏有num[j]分，則玩家2一定會按照[i..j-1]這個子數組中的最優拿法去拿，於是玩家2此時手裏相當於有dp[i，j-1]分，於是玩家1比玩家2多num[j]-dp[i，j-1]分。數組的填充方向是從下往上，從左到右。
解釋1.2
甲乙比賽，甲先手面對區間[i...j]時，dp[i][j]表示甲對乙的淨勝分。
最終求的就是，甲先手面對區間[0...n-1]時，甲對乙的淨勝分dp[0][n-1]是否>=0。
甲先手面對區間[i...j]時，
- 如果甲拿
nums[i]，那麼變成乙先手面對區間[i+1...j]，這段區間內乙對甲的淨勝分爲dp[i+1][j]；那麼甲對乙的淨勝分就應該是nums[i] - dp[i+1][j]。 - 如果甲拿
nums[j]，同理可得甲對乙的淨勝分爲是nums[j] - dp[i][j-1]。
以上兩種情況二者取大即可。
綜上所述，狀態轉移方程如下：
狀態轉移方程：dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1])
解釋1.3
-
初始化時，dp[i，i] =nums[i]; 意味着如果只有一個nums[i]可以拿，先手玩家拿走了，nums[i] 也就是多出來的分數
-
dp[i，j]表示先手玩家從nums[i]拿到nums[j]時，比後手玩家多的最大分數
-
對於dp[i，j]來說，先手玩家有兩種拿法，一種是拿開頭的數，一種是拿結尾的數
-
如果先拿了nums[i]，也就是意味着先手玩家目前的分數是nums[i]+後手玩家獲得的最大分數的相反值，也就是
dp[i，j] = nums[i]+（-dp[i+1，j]）這裏的dp[i+1，j]表示是後手玩家比先手玩家多的最大分數， -
同理如果先拿了nums[j]，也就是意味着先手玩家目前的分數是nums[j]+後手玩家獲得的最大分數的相反值，也就是dp[i][j] = nums[j]+（-dp[i，j-1]）這裏的dp[i，j-1]表示是後手玩家比先手玩家多的最大分數
-
而每一步，先手玩家都想拿到最大的分數，最後纔有機會贏，所以最終的轉移方程是：dp[i][j] =max{nums[i]+（-dp[i+1，j]）, nums[j]+（-dp[i，j-1]）}
-
最後要求的值時dp[0，n-1]也就是dp的右上角的數，判斷這個數是否大於0，大於0意味着先手玩家比後手玩家多，會贏
寫出狀態轉移方程之後該如何填表呢？
AC代碼
public class Solution {
// 狀態轉移方程：dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1])
public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
int len = nums.length;
int[][] dp = new int[len][len];
// dp[i][j]：作爲先手，在區間 nums[i..j] 裏進行選擇可以獲得的相對分數
for (int i = 0; i < len; i++) {
dp[i][i] = nums[i];
}
for (int j = 1; j < len; j++) {
for (int i = j - 1; i >= 0; i--) {
dp[i][j] = Math.max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
}
}
return dp[0][len - 1] >= 0;
}
}