《關於胡小兔的博客又詐屍了這件事》
信息物理真是難啊！上節課講了量子計算的最基礎的概念和Deutsch-Jozsa算法，我看了好幾天纔看懂……
等考完試估計我就忘了，所以今天先寫個博客給未來的我講講！
前置技能
// 這部分暫時鴿了。
// 信女願在博客更新量子計算基礎合集，只求小學期兩門A-……
// 不過安利一個網站：IBM的量子計算教程，還可以用IBM的qiskit庫實踐！而且這個網站的顏值真的很高2333
Deutsch算法
衆所周知，量子計算機可以利用量子比特（qubit）的疊加態，實現並行計算，從而快速計算一些傳統計算機上覆雜度很高的問題。但是這種並行計算是怎麼實現的呢……？爲了理解量子並行，我們找到了一個很好的例子——Deutsch算法。顧名思義，學會這個Deutsch算法，你的Deutsch-Jozsa就學會一大半了（霧
目標
有一個未知的黑盒\(f: \{0, 1\} \rightarrow \{0, 1\}\)，求\(f(0) \oplus f(1)\)（\(\oplus\)表示異或）。
傳統算法
在傳統計算機上，我們必須調用\(f\)函數兩次，一次求\(f(0)\)，一次求\(f(1)\)，再異或起來，得到答案。但是在量子電路中，只需要一次計算！
量子算法
Deutsch算法就是如下的電路：
其中，中間那個大方塊\(U_f\)是一個特殊的門，輸入\(x\)和\(y\)，輸出\(x\)和\(y\oplus f(x)\)。三個\(H\)門是Hadamard門，要記得：
電路的輸入是固定的：\(H|\psi_0\rangle = |01\rangle\)。接下來，我們來算一下\(|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle, |\psi_3\rangle\)都是什麼，然後就知道測量結果和\(f\)的關係了！
剛剛說過，\(H|0\rangle = |+\rangle = (|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt2, H|1\rangle = |-\rangle = (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2\)，所以
接下來就要考慮這個\(U_f\)了。爲了計算方便，我們先設它第一個輸入值是\(|x\rangle\)，第二個輸入值直接代入\((|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2\)。那麼，
看起來非常的簡潔！
接下來把\(x = (|0\rangle + |1\rangle) / \sqrt2\)代進去：
其實分開寫就是
但是我們實在不喜歡\(|+\rangle\)和\(|-\rangle\)，還是更喜歡\(|0\rangle\)和\(|1\rangle\)。於是我們又在第一條輸出線路上加了一個H門，把\(|+\rangle\)和\(|-\rangle\)轉換回\(|0\rangle\)和\(|1\rangle\)。這樣，\(|\psi_{3L}\rangle\)（就是\(|\psi_3\rangle\)中的第一個qubit，即右上角被測量的那個比特）就是：
這樣我們只需要沿\(|0\rangle\)測量一下\(|\psi_{3L}\rangle\)，測出\(|0\rangle\)就說明\(f(0) \oplus f(1) = 0\)，反之就說明\(f(0) \oplus f(1) = 1\)，這樣就可以100%確定\(f(0) \oplus f(1)\)的值了！至此就是Deutsch算法的內容。
神奇的地方在於：在量子版的算法中，我們只調用了一次\(U_f\)！而在傳統計算機上，我們至少要調用兩次\(f\)。你可能會說：差個常數2有啥大不了的嘛！確實，在Deutsch算法並沒有在複雜度上體現出量子算法的優越性，但是接下來的Deutsch-Jozsa算法就能體現出本質上的差異了！
Deutsch-Jozsa算法
目標
有一個未知的黑盒\(f: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}\)，\(f\)可能有以下兩種性質之一：
- f是常函數。
- f是均勻的（balanced）。這裏均勻指的是：\(f(x)\)對於恰好一半的\(x\)得\(0\)，而對另恰好一半的\(x\)得\(1\)。
求\(f\)具有以上兩種性質中的哪一種。
量子算法
Deutsch-Jozsa算法的電路圖：
上面那“一條”線路實際上是\(n\)條，左上角的\(\not-^n\)符號表示這條線路代表\(n\)條線路。輸入也隨之變成了\(|\psi_0\rangle = |0\rangle^{\otimes n}|1\rangle\)。可以發現，Deutsch-Jozsa算法的電路圖除了把第一條線路擴成了\(n\)條之外，和Deutsch算法的電路圖並沒有什麼區別。（是不是突然有自信看懂了！）
讓我們再用熟悉的方法，逐個計算\(|\psi_0\rangle, |\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle, |\psi_3\rangle\)。
最後一步，我們要計算\(|\psi_{3L}\rangle = H|\psi_2\rangle\)。這一步稍微有點難算，再堅持一下！
考慮單個qubit\(x_1\)，有
\(H|x_1\rangle = \sum_{z_1 \in \{0, 1\}} (-1)^{x_1z_1} |z_1\rangle\)，
那麼對\(n\)個qubit組成的\(|x\rangle\)，有
所以
接下來我們測量一下\(|\psi_{3L}\rangle\)，見證奇蹟的時刻到了！
測得\(|0\rangle^{\otimes n}\)的概率是：
因爲除了\(| 0 \rangle\)以外的\(| z \rangle\)都和\(| 0 \rangle\)垂直，內積是0，所以其他項都沒了，只剩下\(| z \rangle = | 0 \rangle\)的這一項。
當\(f\)是常函數時，所有\((-1)^{f(x)}\)都相等，\(\sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} = \pm 1\)，平方之後就等於\(1\)，所以測出\(|0\rangle^{\otimes n}\)的概率是1；
當\(f\)是均勻的函數時，一半\((-1)^{f(x)} = 1\)，另一半\((-1)^{f(x)} = -1\)，\(\sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} = 0\)，平方之後依然等於\(0\)，所以測出\(|0\rangle^{\otimes n}\)的概率是0。
這樣，只需運行這個電路一次，就可以100%確定\(f\)的性質了！
一些常見的困惑
Q：啥是量子計算……啥是qubit……
A：反正大概是OI用不到的東西……Qiskit Textbook歡迎你！（再次免費打廣告）
Q：不是啊，你連\(f\)是啥都不知道，你這個\(U_f\)咋從\(f\)構建出來的啊？
A：好問題！答案是，並不知道怎麼構建……這個算法應用的場景其實是“給出一個量子黑盒\(U_f\)”，而不是給出\(f\)。（如果給出\(f\)，把\(f\)讀進來、搞出一個真值表的複雜度就有\(2^n\)了……總之這個算法解決的問題不是這個。）
Q：只看上面那條線路，\(U_f\)對於\(|x\rangle\)不是相當於單位矩陣\(I_n\)一樣，沒有產生改變嘛？爲啥第一條線路輸出的不是\(H^{\otimes n}I_nH^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n} = |0\rangle^{\otimes n}\)呢？
A：好、好問題！問題出在“\(U_f\)對於\(|x\rangle\)相當於單位矩陣\(I_n\)”這句話上。事實上，\(U_f\)並不能寫作\(I_n \otimes U_f'\)的形式，也就是說\(U_f\)並不能分成兩個矩陣分別影響上下兩條線路。
Q：我還是不明白。\(|x\rangle\)是\(|0\rangle^{\otimes n}\)經過H門後得到的，再經過一次H門爲啥沒變回去？？？
A：換種說法，經過\(U_f\)門之後，上下兩條線路（\(|x\rangle\)和\(|y\rangle \oplus f(x)\)）發生了糾纏，所以\(U_f\)門輸出的“兩條線路”也無法分成“\(|x\rangle \otimes (|y\rangle \oplus f(x))\)”這樣的“張量積”形式，因而不能分開單獨考慮了。
Q：所以這個算法有啥用處嗎？
A：它的用處大概是……幫你理解量子並行計算，證明量子並行計算與傳統計算機相比有優越之處。現在看起來，Deutsch-Jozsa算法解決的問題或許沒啥用處，但或許以後類似的方法能解決更重要的問題吧~（現學現賣，並未深入瞭解 =_=|||）
以上就是Deutsch-Jozsa算法的講解啦，我也剛學，可能有很多錯誤，歡迎大佬指正！>v<
Acknowledgement：感謝lpy大佬解答我的菜問題ﾍ(;´Д｀ﾍ)