時間複雜度AND空間複雜度專項
本文參考：https://www.cnblogs.com/coder-programming/p/11093608.html
時間維度：是指執行當前算法所消耗的時間，我們通常用「時間複雜度」來描述。
空間維度：是指執行當前算法需要佔用多少內存空間，我們通常用「空間複雜度」來描述。
時間複雜度
一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。 一個算法中的語句執行次數稱爲語句頻度或時間頻度。記爲 T(n)。
常見的算法時間複雜度由小到大依次爲：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n) ，隨着問題規模 n 的不斷增大，上述時間複雜度不斷增大，算法的執行效率越低
常見的時間複雜度：
常見的時間複雜度：
常數階 O(1)
對數階 O(log2n)
線性階 O(n)
線性對數階 O(nlog2n)
平方階 O(n^2)
立方階 O(n^3)
k 次方階 O(n^k)
指數階 O(2^n)
常見階數串講
-
常數階 O（1）
- 沒有循環結構，代碼上萬行都可以，消耗並不伴隨某個的增長而增長，都是O（1）
-
對數階O（log2n）
- 舉個例子
int n=1000; int i=1; while(i<=n){ i=i*2; } cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;看在while循環中執行了多少次：while終止條件是i>n的時候，即當2的x次方等於n時結束循環，那麼顯然x=log2n。也就是說while循環執行了log2n次後就結束了，那麼這個算法的時間複雜度就是log2n。
從這個例子可以看出，如果將循環改成
i=i*3;那麼複雜度自然就變成了log3n。
-
線性階O（n）
現在你已經基本入門啦，我們直接上例子，線性階很好理解，就是在循環中變量增長從倍數變成了單個增長。
int n=1000; int i=1; while(i<=n){ i++; } cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;顯然i需要增加n次纔可以執行結束，故時間複雜度爲O（n）
-
線性對數階O（nlogN）
套娃！外層循環執行n次，內部循環需要執行logN次，那麼一共就是n*logN啦，故時間複雜度爲O（nlogN）。
繼續上代碼：
int j=0; for(int i=1;i<=n;i++){ j=1; while(j<n){ j=j*2;//時間複雜度爲O(log2n) } }這個時間複雜度就是O(nlog2n)
-
平方階O(n²)
平方階和線性對數階類似，也是套娃！
外層n，內層n不就成n²了嗎！
如果外層m，內層n，那麼就是O（mn）
-
立方階O(n³)、K次方階O(n^k)
類似~
運算法則
以上舉例都是套娃或者單個循環的，如果遇到多個怎麼辦？這就涉及到時間複雜度計算法則了：
只關注循環執行次數最多的一段代碼
加法法則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).
乘法法則：嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積
T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)
平均時間複雜度和最壞時間複雜度
- 平均時間複雜度：所有可能輸入實例均以等概率出現的情況下，該算法的運行時間。
- 最壞時間複雜度：最壞情況下（即算法運行時間最長的情況）
- 平均時間複雜度與最壞時間複雜度是否一致，與算法有關。
空間複雜度
類似於時間複雜度，一個算法的空間複雜度定義爲該算法所耗費的存儲空間，也是問題規模n的函數
（別問，上面一句話我沒看懂。。。）
可以理解爲，空間複雜度是用來評判一個算法的執行所需佔用的臨時存儲空間。在做算法分析的時候，主要討論的是時間複雜度。從用戶體驗上看，更看重程序的執行速度，所以有時候爲了提升算法速度使用空間來換時間。
突然想到那種變態排序，1~2015範圍，直接開闢2016的數組大小，有數的就標記爲1其餘爲0，然後遍歷輸出。。。時間複雜度：O(n)
定義
算法的空間複雜度的計算公式記作：S(n)=O(f(n))，其中，n爲問題的規模，f(n)爲語句關於n所佔存儲空間的函數。
舉個例子：
void print(int n) {
int i = 0;//常量階，不算問題規模
int[] a = new int[n];//規模爲n
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}
顯然代碼開闢了一個規模爲n的數組，故整體的空間複雜度爲O(n)