實對稱矩陣的特徵值一定爲實數證明

　　雖然不是什麼有應用價值的定理，但是每次看到實對稱矩陣時總會有疑惑，現在記錄下來。

證明

　　設有實對稱矩陣$A$，它的特徵值與對應的特徵向量分別爲$\lambda,x$，另外記$\overline{A},\overline{\lambda},\overline{x}$分別爲它們對應的共軛複數（矩陣和向量是對每個元素共軛）。

　　首先有：

\begin{equation}\overline{x}^TAx = \overline{x}^T\overline{A}x = (\overline{A}^T\overline{x})^Tx = (\overline{A}\overline{x})^Tx = \overline{Ax}^Tx=\overline{\lambda x}^Tx=\overline{\lambda}\overline{x}^Tx\end{equation}

　　又有：

\begin{equation}\overline{x}^TAx = \overline{x}^T\lambda x = \lambda \overline{x}^T x\end{equation}

　　因爲$(1),(2)$式相等，所以有：

$ (\overline{\lambda} -  \lambda) \overline{x}^Tx = 0$

　　因爲特徵向量$x\ne 0$，所以$ \overline{x}^Tx>0$，因此有$ \overline{\lambda} = \lambda$。特徵值爲實數得證。