一、題目
0、題目鏈接
http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T104（需要登錄且需要 VIP 賬戶）
1、問題描述
給定一個矩陣 A,一個非負整數 b 和一個正整數 m，求 A 的 b 次方除 m 的餘數。
其中一個 n x n 的矩陣除 m 的餘數得到的仍是一個 n x n 的矩陣，這個矩陣的每一個元素是原矩陣對應位置上的數除m的餘數。
要計算這個問題，可以將 A 連乘 b 次，每次都對 m 求餘，但這種方法特別慢，當b較大時無法使用。下面給出一種較快的算法(用 A ^ b 表示 A 的 b 次方)：
若 b = 0，則 A ^ b % m = I % m。其中 I 表示單位矩陣。
若 b 爲偶數，則 A ^ b % m = (A ^ (b / 2) % m) ^ 2 % m，即先把 A 乘 b / 2 次方對 m 求餘，然後再平方後對 m 求餘。
若 b 爲奇數，則 A ^ b % m = (A ^ (b - 1) % m) * a % m，即先求A乘 b - 1 次方對 m 求餘，然後再乘 A 後對 m 求餘。
這種方法速度較快，請使用這種方法計算 A ^ b % m ，其中 A 是一個 2 x 2 的矩陣，m 不大於 10000。
2、輸入格式
輸入第一行包含兩個整數 b, m，第二行和第三行每行兩個整數，爲矩陣 A。
3、輸出格式
輸出兩行，每行兩個整數，表示 A ^ b % m 的值。
4、樣例輸入
2 2
1 1
0 1
5、樣例輸出
1 0
0 1
二、分析與思路
有點意思的一道基礎題。
首先這是個矩陣乘法問題，結合線性代數的知識，不難理解這個過程，並且這道題的矩陣限定爲 2 * 2，就更簡單了。題面給出了較快的算法，然而我完全沒 get 到它想表達的，於是真就直接對 b 判斷一次奇偶再分別處理，可能是藍橋杯 OJ 裏的 sb 題太多了，以爲這道題也很 sb，交了一發輕鬆爆 0。
然後乾脆忽略掉了這個較快方法，又交了一發直接求解，90 分，最後一個點竟然 TLE，下載數據一看 b > 10 ^ 8，再回頭看題，原來壓根就沒給出 b 的數據範圍。
大致看了下其他的博客，重新讀了遍題，才意識到題面所謂的較快方法 —— 原來是在暗示快速冪。。甚至可以說是明示。題目那兩句話本質是隱含了遞歸思想的，確實之前沒做過矩陣快速冪，完全沒有往這方面想。
那麼明白了需要快速冪之後，其實矩不矩陣是沒啥影響的，把矩陣的乘法運算封裝一下，和普通的快速冪是幾乎一樣的。
三、代碼
1、常規代碼
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 typedef long long ll; 5 6 ll n, m, c[3][3], a[3][3], res[3][3]; 7 8 void multi(ll a[][3], ll b[][3]) { 9 memset(c, 0, sizeof(c)); 10 for (int i = 1; i <= 2; i++) 11 for (int j = 1; j <= 2; j++) 12 for (int k = 1; k <= 2; k++) 13 (c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]) %= m; 14 for (int i = 1; i <= 2; i++) 15 for (int j = 1; j <= 2; j++) 16 a[i][j] = c[i][j]; 17 } 18 19 int main() { 20 cin >> n >> m; 21 cin >> a[1][1] >> a[1][2] >> a[2][1] >> a[2][2]; 22 if (n) { 23 res[1][1] = a[1][1] % m, res[1][2] = a[1][2] % m; 24 res[2][1] = a[2][1] % m, res[2][2] = a[2][2] % m; 25 n--; 26 while (n) { 27 if (n & 1) multi(res, a); 28 multi(a, a); 29 n >>= 1; 30 } 31 cout << res[1][1] << ' ' << res[1][2] << endl; 32 cout << res[2][1] << ' ' << res[2][2]; 33 } 34 else cout << "0 0\n0 0"; 35 return 0; 36 }
2、矩陣封裝類代碼
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 typedef long long ll; 5 6 ll n, m, i, j, k, l; 7 8 class Matrix { 9 public: 10 ll a[2][2]; 11 Matrix() {} 12 Matrix(int i, int j, int k, int l): 13 a({{i, j}, {k, l}}) {} 14 friend Matrix operator * (const Matrix x, const Matrix y) { 15 Matrix t; 16 t.a[0][0] = (x.a[0][0] * y.a[0][0] + x.a[0][1] * y.a[1][0]) % m; 17 t.a[0][1] = (x.a[0][0] * y.a[0][1] + x.a[0][1] * y.a[1][1]) % m; 18 t.a[1][0] = (x.a[1][0] * y.a[0][0] + x.a[1][1] * y.a[1][0]) % m; 19 t.a[1][1] = (x.a[1][0] * y.a[0][1] + x.a[1][1] * y.a[1][1]) % m; 20 return t; 21 } 22 }; 23 24 int main() { 25 cin >> n >> m; 26 cin >> i >> j >> k >> l; 27 Matrix a(i, j, k, l), res; 28 if (n) { 29 res = a; 30 n--; 31 while (n) { 32 if (n & 1) res = res * a; 33 a = a * a; 34 n >>= 1; 35 } 36 cout << res.a[0][0] % m << ' ' << res.a[0][1] % m << endl; 37 cout << res.a[1][0] % m << ' ' << res.a[1][1] % m ; 38 } 39 else cout << "0 0\n0 0"; 40 return 0; 41 }
四、相關知識點