1. Toeplitz矩陣
1.1 定義
Toeplitz（特普利茨）矩陣又稱爲常對角矩陣，該矩陣每條左上至右下的對角線均爲常數。Toeplitz矩陣 爲滿足以下條件的矩陣：
其一般形式爲：
2. 循環矩陣
2.1 定義
循環矩陣是一種特殊的Toeplitz矩陣，其列向量/行向量的每個元素都是前一個列向量/行向量個元素循環右移一個位置的結果。循環矩陣
的一般形式爲：
若循環矩陣
還滿足：
則矩陣
稱爲對稱循環矩陣。
2.2 性質
- 若
爲兩個循環矩陣，則
都是循環矩陣，且
證明：
![AB = BA]()
- 定義向量
的反轉向量爲
，其元素序列爲原向量
的反轉。
則易知以下式子成立：
即兩個向量的內積等於它們反轉向量的內積。
- 定義向量
的循環右移
個位置（
爲負數則表示循環左移
個位置）的向量爲
，易知
的反轉向量
![\tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{i}{\rightarrow}} = \boldsymbol{v}^{\overset{-i}{\rightarrow}}]()
- 易知對於任意整數
，均有以下等式成立：
![(\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i+c}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j+c}{\rightarrow}}_2)]()
- 要證明原命題，易知只需證明：
![(\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_1)]()
由以上性質可知：
- 循環矩陣的特徵向量矩陣是同樣維數的離散傅立葉變換矩陣。
3. 分塊Toeplitz/循環矩陣
3.1 定義
對於分塊矩陣 其中
爲子矩陣。如果矩陣
相對於子矩陣元素
構成Toeplitz/循環矩陣，則稱矩陣
爲分塊Toeplitz/循環矩陣。
4. 雙重分塊 Toeplitz/循環矩陣
對於分塊Toeplitz/循環矩陣 ，如果其子矩陣
也是Toeplitz/循環矩陣，則稱矩陣
爲雙重分塊Toeplitz/循環矩陣。