1.1 域
定義 1.1.1
設 \(\mathbb F\) 是複數域 \(\mathbb C\) 的一個子集且至少包含兩個元素。如果對於任意 \(a, b \in \mathbb F\) 都有
則稱 \(\mathbb F\) 是個數域。
命題 1.1.2
設 \(\mathbb F\) 是個數域，則 \(\mathbb Q \subset \mathbb F\) （也就是 \(\mathbb Q\) 是最小的數域）
定義 1.1.3
-
笛卡爾積 \(X \times Y = \{(x, y) | x \in X, y \in Y\}\)
-
代數運算 \(X \times Y \to Z, (x, y) \mapsto x \circ y\)
特別地，二元運算 \(X \times X \to X, (x, y) \mapsto x \circ y\)
除法是 \(\mathbb Q^* = \mathbb Q \backslash \{0\}\) 上的一個二元運算
定義 1.1.4
\(\mathbb F\) 上有兩個二元運算（加法和乘法）滿足 \((F1) - (F9)\) 就稱爲域。（此處定義 零元、負元、單位元、逆元）
註記 1.1.5
不滿足 \((F6),(F8)\) （乘法交換律和逆元）則稱環，進一步滿足 \((F6)\) 就稱作交換環。
若只不滿足 \((F6)\) 那稱爲體或者除環。
稱滿足 \(p 1 = 0\) （\(1\) 爲 \(\mathbb F\) 中單位元，\(0\) 爲 \(\mathbb F\) 中零元）的最小正整數 \(p\) 是 \(\mathbb F\) 的特徵，記作 \(p = \mathrm{char} \mathbb F\) ；如果不存在這樣的 \(p\) 則稱 \(\mathbb F\) 的特徵爲 \(0\) 。
因此，若 \(\mathbb K\) 爲一個數域，則 \(\mathrm{char} \mathbb K = 0\) 。
註記 1.1.6
-
特徵只能爲 \(0\) 或者一個素數。
-
若 \(\mathbb F\) 是一個特徵爲 \(p > 0\) 的域，則對於 \(\forall a \in F\) 有 \(pa = 0\) 並且
\((a + b)^p = a^p + b^p ~~~~~(\forall a, b \in \mathbb F)\)
定義 1.1.7
\(X\) 上一個二元關係爲 \(X \times X\) 的一個子集合 \(R\) 。
如果滿足反身性、對稱性、傳遞性，就叫做等價關係。（記作 \(x \sim y\)）
記 \(\overline x\) 爲 \(x\) 的等價類，即 \(\overline x = \{y \in X~ ~|~ ~y \sim x\}\) 。（和代表元選取無關）
註記 1.1.8
滿足反身性、反對稱性、傳遞性，就叫做偏序關係，並稱 \(X = (X, \le)\) 爲一個偏序集。
命題 1.1.9
設 \(n\) 是一個大於 \(1\) 的正整數，則 \(\mathbb Z /n\mathbb Z\) 爲交換環。
\((\mathbb Z / n \mathbb Z, +, \cdot)\) 是一個域當且僅當 \(n\) 是一個素數。
註記 1.1.10
\(\mathbb F\) 是個有限域，則 \(|\mathbb F| = p^n\) 其中 \(p\) 爲一個素數，\(n\) 爲一個正整數。
任意含有元素個數相同的兩個有限域總是同構的。
1.2 線性方程組，Gauss消元法與矩陣
定義 1.2.1
線性方程組
有 \(n\) 個未知量或變元，\(a_{ij}\)爲係數，\(b_i\)爲常數項。
如果 \(b_1 = \cdots = b_m = 0\) 那麼稱爲一個齊次線性方程組（我們關注它是否有非零解）。
註記 1.2.1
設 \(\mathbb F = \mathbb R\) 那麼 \(n = 2\) 時解就是直線交，\(n = 3\) 時就是平面的交。
引理 1.2.2
初等變換將一個線性方程組變爲一個同解的線性方程組。
- 交換兩個方程組位置；
- 用一個非零的數乘某一個方程；
- 將一個方程的倍數加到另一個方程
考慮高斯消元過程，可化爲階梯形。
命題 1.2.3
每一個線性方程組都與一個階梯形線性方程組同解。
定理 1.2.4
線性方程組的無解、有解、唯一解、無窮多解判定。
無窮多解的情況中，稱未知量 \(x_{i_{r+1}}, \dots, x_{i_n}\) 爲方程組的一組自由未知量。
推論 1.2.5
若一個齊次線性方程組所含方程個數小於它的未知量個數，則該方程組一定有非零解。
並稱其爲相伴的齊次線性方程組或導出組。
推論 1.2.6
方程組有唯一解當且僅當導出組只有零解。
定義 1.2.7
定義 \(m \times n\) 矩陣，和 \(a_{i,j}\) 爲第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素簡稱爲 \((i,j)\) 元素。
\(M_{m,n} (\mathbb F)\) 爲數域 \(\mathbb F\) 所有 \(m \times n\) 矩陣構成的集合。
定義線性方程組的係數矩陣和增廣矩陣，然後可以定義矩陣的初等行/列變換。
命題 1.2.8
重新敘述 命題1.2.3 。
任意一個 \(m \times n\) 矩陣可以通過初等行變換化爲如下形式的階梯形矩陣。
其中 \(a_{1,i_1}, \cdots,a_{r,i_r}\) 都是非零數，稱爲主元。
1.3 n維向量空間
定義 1.3.1
設 \(\mathbb F\) 是一個數域，\(\mathbb F\) 中 \(n\) 個數構成有序數組 \(\alpha = (a_1, \dots, a_n)\) 稱爲 \(\mathbb F\) 上一個 \(n\) 維（行）向量。
並且記 \(\mathbb F^n = \{(a_1, \dots, a_n) ~|~ a_1, \dots, a_n \in \mathbb F\}\)
稱 \(\mathbb F^n\) 與其上的加法運算和數乘運算合稱爲 \(\mathbb F\) 上的 \(n\) 維向量空間。
線性方程組亦可用向量表示爲 \(x_1 \beta_1 + \dots + x_n \beta_n = \beta\) （\(\beta\) 爲列向量）
定義 1.3.2
定義 線性組合 和 線性表示。
定義 1.3.4
\(n\) 維向量空間 \(\mathbb F^n\) 的一個非空子集合稱爲一個子空間，如果對於 \(\forall \alpha, \beta \in W\) 以及任意 \(\lambda \in \mathbb F\) 都有 \(\alpha + \beta \in W, \lambda \alpha \in W\) 。
稱 \(\mathcal L(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)\) 爲 \(\mathbb F^n\) 的由 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_s\) 張成的子空間。
一般地 \(S\) 是 \(\mathbb F^n\) 任意一個子集合，則
\(\mathcal L(\alpha_1, \dots, \alpha_s) = \{a_1 \alpha_1 + \cdots + a_m \alpha_m ~|~ m \ge 0, \alpha_i \in S, a_i \in \mathbb F, \forall 1 \le i \le m\}\)
稱爲由 \(S\) 張成的子空間。
定義 1.3.5
定義 線性相關 和 線性無關。
例 1.3.6
一個齊次線性方程組有非零解 \(\Leftrightarrow\) 其係數矩陣的列向量是線性相關的。
定義 1.3.7
定義 極大（線性）無關組
命題 1.3.9
\(S\) 是 \(n\) 維向量空間 \(\mathbb F^n\) 中的一個含有非零向量的向量組，則 \(S\) 一定有極大無關組。
對 \(n\) 進行數學歸納證明即可，分類討論有無大小爲 \(n\) 的極大無關組。
定義 1.3.10
\(S, T\) 是 \(n\) 維向量空間 \(\mathbb F^n\) 中的兩個向量組，若 \(S\) 中每個向量都能由 \(T\) 表示，則稱 \(S\) 可由 \(T\) 線性表示（即 \(\mathcal L(S) \subseteq \mathcal L(T)\)）。若 \(S, T\) 可以互相線性表示，則稱 \(S, T\) 是等價的（\(\mathcal L(S) = \mathcal L(T)\)）。
定理 1.3.11(Steinitz Exchange Lemma)
設 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\) 與 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 是向量空間 \(\mathbb F^n\) 中兩個向量組，若 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\) 線性無關且可由 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 線性表示，則 \(r \le s\) 。
並且必要時對 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 重新編號，，用 \(\alpha_1, \dots, \alpha_r\) 替換 \(\beta_1, \dots, \beta_r\) 所得向量組 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r, \beta_{r+1}, \dots, \beta_s\}\) 與 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 等價。
同樣對 \(r\) 進行數學歸納證明，每次找到一個係數非零的用其餘線性表示即可。
推論 1.3.12
若 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_s\}\) 可由 \(\{\beta_1, \dots, \beta_t\}\) 線性表示，且 \(s > t\)，那麼 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_s\}\) 線性相關（逆否命題）。
特別地，\(\mathbb F^n\) 中任意 \(n + 1\) 個向量總線性相關。
推論 1.3.13
- 設 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\) 與 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 是向量空間 \(\mathbb F^n\) 中兩個等價的極大無關組，則 \(r = s\) （因爲 \(r \le s, s \le r\) ）
- 一個向量組的所有極大線性無關組所含向量個數一定相同
定義 1.3.14
定義向量組的秩，記作 \(\mathrm r(S)\) 或 \(\mathrm{rank}(S)\) 。
推論 1.3.15
等價的向量組有相同的秩。
推論 1.3.16
設 \(S = \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 爲 \(\mathbb F^n\) 中一個向量組。若 \(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_t}\) 線性無關，則 \(t \le \mathrm{rank}(S)\) 且 \(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_t}\) 可以擴充爲 \(S\) 的一個極大無關組。
找到極大線性無關組，用 Steinitz 替換定理。
定義 1.3.17
設 \(W\) 是 \(\mathbb F^n\) 的一個子空間，若 \(W\) 中存在線性無關的向量 \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_s\) 使得 \(W\) 中每個向量均可由 \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_s\) 線性表示，則稱 \(\{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_s\}\) 爲 \(W\) 的一個基，且 \(s\) 爲 \(W\) 的維數，記作 \(\mathrm{dim} W = s\) 。
規定零空間 \(\textbf 0\) 的維數等於 \(0\) ，記作 \(\mathrm{dim} \textbf 0 = 0\) 。
命題 1.3.19
- 若 \(W\) 是 \(\mathbb F^n\) 的一個子空間，則 \(\mathrm{dim} W \le n\)
- 若 \(W_1, W_2\) 是 \(\mathbb F^n\) 的兩個子空間且 \(W_1 \subseteq W_2\) ，則 \(W_1\) 每一個基從可以擴充成 \(W_2\) 的一個基
1.4 矩陣的秩與線性方程組有解判別準則
定義 1.4.1
定義 行/列空間 和 行/列秩。
引理 1.4.3
矩陣的行秩與列秩在初等（行、列）變化下不變。
行秩討論即可，列秩需要證明一個關於極大無關組不變的引理。
定理 1.4.4
矩陣行秩等於列秩。
化爲上階梯形矩陣，然後對行、列秩分別說明一下即可。
定義 1.4.5
矩陣 \(A\) 的行秩和列秩稱爲 \(A\) 的 秩，記作 \(\mathrm r(A)\) 或 \(\mathrm {rank}(A)\) 。
註記 1.4.6
假設通過初等行變換將矩陣 \(A\) 化爲階梯型矩陣 \(B\) 則 \(A\) 的秩恰爲 \(B\) 中主元的個數。而且，\(A\) 中位於 \(B\) 中主元所在列的列向量，是 \(A\) 的列向量組的一個極大無關組。
定理 1.4.7
可以通過初等變換把 \(A\) 化成
其中 \(1\) 出現次數爲 \(\mathrm r(A)\) 。
命題 1.4.9
\(\mathrm r(A) = \mathrm r(A^T)\)
例 1.4.10
-
設 \(C = \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & B\\ \end{pmatrix}\) 則 \(r(C) = r(A) + r(B)\) 。
直接將 \(A, B\) 極大線性無關組拼接即可。
-
設 \(A\) 是一個 \(m \times n\) 矩陣，在 \(A\) 中取出 \(s\) 行作一個 \(s \times n\) 矩陣 \(B\) 。則
\(\mathrm r (B) \ge \mathrm r (A) + s - m\) 。用 \(r(A) \le m\) 去證。
定理 1.4.11(Kronecker-Capelli)
線性方程組有解的充要條件是 \(\mathrm r(A) = \mathrm r(\tilde A) = r\) 。
在有解情況下 \(r = n\) 時，有唯一解；\(r < n\) 時有無窮多解。
就是 \(\beta\) 可以被 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 線性表示，可以證明擴展出的子空間的維度一樣。
然後解的個數就取決於線性表示的方法種數，然後討論即可。
註記 1.4.12
可以先化爲階梯型矩陣，再利用定理1.2.4給出證明。
推論 1.4.13
若 \(n\) 元齊次線性方程組的係數矩陣 \(A\) 的秩爲 \(r\)
- 若 \(r = n\) ，則方程組僅有零解；
- 若 \(r < n\) ，則方程組有無窮多解。
1.5 線性方程組的結構
把齊次方程組的解看做 \(n\) 維列向量，令
\(W = \{(c_1, \dots, c_n)^T \in \mathbb F^n ~|~ \sum_{i = 1}^n c_i \alpha_i = 0\}\) 即方程組所有解構成的集合。
有 \(W\) 是 \(\mathbb F^n\) 的解空間，亦稱爲矩陣 \(A\) 的零空間 。易見，\(W = 0\) 當且僅當 \(\mathrm r(A) = n\) 。
定義 1.5.1
解空間 \(W\) 的基 \(\{\eta_1, \dots, \eta_s\}\) 稱爲方程組的一個基礎解系。
定理 1.5.2
設 \(\mathrm r = \mathrm r(A) < n\) 則 \(\mathrm{dim} W = n - r\) ，即基礎解系恰好含有 \(n - r\) 個向量。
Gauss消元后得到上三角，然後回代出 \(x_1, \dots, x_r\) 的解，對 \(x_{r + 1}, \dots, x_n\) 取特值（只在一處取 \(1\) ），可得到 \(n - r\) 個解，它們線性無關。
然後由回代的式子，可知任意解都可以由 \(\eta_1, \dots, \eta_{n - r}\) 線性表示，即其爲一組基礎解系。
註記 1.5.3
- 求解過程中交換次序，最後通過調整即可得原齊次方程組的基礎解系。
- 根據上述定理，齊次線性方程組的任意一組自由未知量所含向量個數皆爲 \(n - \mathrm r(A)\)
定理 1.5.5
設方程組有解，且 \(\gamma\) 是其任意一個特解。則其解集爲
\(\gamma + W = \{\gamma + \eta ~|~ \eta \in W\}\) 。
從兩面證解空間的包含性，即可推相等
至於具體求解，還是考慮將左上角消成 \(\mathrm{diag}\{1\}\) ，然後此時有 \(\gamma = (d_1, \dots, d_r, 0, \dots, 0)^T\) ，然後後面同上即可。