第二章 矩陣代數

2.1 線性映射和矩陣的運算

\(A\)\(m \times n\) 矩陣

定義映射

\[\phi_A: \mathbb F^n \to \mathbb F^m, \alpha = \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n a_{1j}c_j \\ \vdots \\ \sum_{j = 1}^n a_{mj}c_j\end{pmatrix} = \sum_{i = 1}^n c_i \beta_i \]

根據定義,有如下性質:

  • \(\phi_A(\alpha + \beta) = \phi_A(\alpha) + \phi_A(\beta)\)
  • 集合 \(\{\alpha ~|~ \phi_A(\alpha) = 0\} \subseteq \mathbb{F}^n\) 稱爲 \(\phi_A\),記作 \(\mathrm{Ker} \phi_A\) ,恰是以 \(A\) 爲係數的齊次線性方程組的解空間
  • 映射 \(\phi_a\) 的像 \(\mathrm{Im} \phi_A = \{\phi_A ~|~ \alpha \in \mathbb{F}^n\} \subseteq \mathbb{F}^m\) 恰是 \(A\) 的列空間。
  • 任意給定 \(\beta \in \mathbb F^m\)\(\beta \notin \mathrm{Im} \phi_A\)\(B\) 的原像 \(\phi_A^{-1} (\beta) = \{\alpha \in \mathbb{F}^n ~|~ \phi_A(\alpha) = \beta\}\) (亦稱爲 \(\phi_A\)纖維)是空集,即以 \((A, \beta)\) 爲增廣矩陣的線性方程組無解。

命題 2.1.2

  • \(\phi_A\) 是單射 \(\Leftrightarrow r(A) = n \Leftrightarrow \mathrm{Ker} \phi_A = 0\)
  • \(\phi_A\) 是滿射 \(\Leftrightarrow r(A) = m\)

定義 2.1.3

一個映射 \(\varphi: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\) 稱爲線性映射,如果 \(\varphi (\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta), \varphi(k\alpha) = k \varphi(\alpha), \forall \alpha, \beta \in \mathbb F^n, k \in \mathbb F\)

特別地,\(m = n\) 時稱爲線性變換

命題 2.1.4

\(\varphi: \mathbb F^n \to \mathbb F^m\) 是一個線性映射,則存在一個矩陣 \(\mathbb F^n \to \mathbb F^m\) 都具有這種形式。

構造單位矩陣即可

\(\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m) := \{\mathbb{F}^n 到 \mathbb{F}^m的所有線性映射\}\)

推論 2.1.5

存在一個雙射

\[\begin{aligned} \Theta : \mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m) &\to M_{m, n} (\mathbb F)\\ \varphi &\mapsto (\varphi(\textbf e_1), \dots, \varphi(\textbf e_n)) \end{aligned} \]

對於 \(\varphi, \psi \in\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\) ,定義 \(\varphi + \psi\) 如下:

\((\varphi + \psi) (\alpha) = \varphi(\alpha) + \psi(\alpha), \forall \alpha \in \mathbb F^n\)

仍然是個線性映射,即 \(\varphi + \psi \in\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\)

註記 2.1.6

可以驗證,\(\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\) 可以定義如上的加法運算及數乘運算滿足 \(\text{(VS1) - (VS8)}\)

定義 2.1.7

定義兩個矩陣的和矩陣的數乘與矩陣的乘積,也滿足 \(\text{(VS1) - (VS8)}\)

\(\phi_B: \mathbb{F}^s \to \mathbb{F}^n, \phi_A: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\)

它們的合成\(\phi_A \circ \phi_B: \mathbb{F}^s \to \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\)\(C = A B\) 使得 \(\phi_A \circ \phi_B = \phi_C\)

註記 2.1.8

矩陣的乘積是一個代數運算。

滿足結合律、分配率,數乘的結合律。

定義 \(n\) 階單位矩陣\(n\) 階方陣,以及矩陣的

定義 2.1.10

定義對角矩陣,若 \(D = d I_n\) 那麼 \(D\)純量矩陣標量矩陣

定義 (嚴格)上/下三角矩陣

\(A^T = A\)\(A\)對稱矩陣\(A^T = -A\)反對稱矩陣

定義共軛矩陣,以及運算規則:\(\overline{A + B} = \overline{A } + \overline{B}; \overline{cA} = \overline c \overline A; \overline{AB} = \overline A ~\overline B\)

\(\overline A^T = A\) 則稱 \(A\)埃爾米特矩陣

命題 2.1.11

\(r(AB) \le \min \{r(A), r(B)\}\)

註記 2.1.12

可將複數域 \(\mathbb C\) 看成 \(M_2(\mathbb R)\) 的子集,
乘法即對應兩個 \(2\) 階實矩陣的乘積是一致的。

可將四元數體 \(\mathbb H\) 看成 \(M_2(\mathbb C)\) 的子集,也可看成 \(M_4(\mathbb R)\) 的子集。

2.2 可逆矩陣

定義 2.2.1

定義 可逆矩陣、逆矩陣、不可逆的

註記 2.2.2

  • 只有方陣纔有逆矩陣的定義,非零方陣不一定可逆
  • 可逆矩陣的逆矩陣唯一確定

命題 2.2.3

  • \((A^{-1})^{-1} = A\)
  • \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
  • \((cA)^{-1} = c^{-1}A^{-1}\)
  • \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)

注:\(A, B\) 都爲 \(n\) 階可逆軍陣,則 \(A \pm B\) 不一定可逆,反之也不成立。

定理 2.2.4

\(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(r(A) = n\)

\(\Rightarrow: \mathrm r(A) \le n = \mathrm r(I_n) = r(AB) \le r(A)\)

\(\Leftarrow:\) 等價於 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 那麼可以構造一個線性組合滿足這個變換,就可以證明了。

註記 2.2.5

\(\mathrm r(A) = n\)\(A\)非退化的,否則 \(A\)退化的

推論 2.2.6

\(AB = I_n\)\(BA = I_n\)\(A\) 可逆且 \(B = A^{-1}\)

那麼線性方程組可以表示爲 \(Ax = \beta\) ,則唯一解可以表示爲 \(x = A^{-1} \beta\)

2.3 矩陣的初等變換與初等矩陣

定義 2.3.1

\(A\) 可以通過初等變換變成 \(B\) 那麼稱 \(A\)\(B\) 等價或相抵 ,記作 \(A \sim B\),矩陣的等價是一個等價關係。

任何一個矩陣 \(A\) 都等價於矩陣 \(\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) 其中 \(r = \mathrm r(A)\) ,並稱 \(B\)\(A\)等價下的標準形相抵標準形

則可得到 \(A \sim B \Leftrightarrow \mathrm r(A) = \mathrm r(B)\) 因此 \(M_{m, n}(\mathbb F)\) 的等價類個數爲 \(1 + \min\{m, n\}\)

定義 2.3.2

\(I_n\) 進行一二三類初等變換得到的矩陣,分別稱爲一二三類初等矩陣

\(P_{ij}^{-1} = P_{ij}, D_i(c)^{-1} = D_i(c^{-1}), T_{ij}(c)^{-1} = T_{ij}(-c)\)

定理 2.3.3

左乘初等矩陣相當於進行行變換,右乘則爲列變換。

推論 2.3.4

\(A \sim B\) ,則存在可逆矩陣 \(P, Q\) 使得 \(PAQ = B\)

推論 2.3.6

\(A\) 可逆當且僅當 \(A \sim I_n\)

推論 2.3.7

\(A\) 可逆當且僅當 \(A\) 可以表示成若干個初等矩陣的矩陣。

推論 2.3.8

\(A\) 是個可逆矩陣,可僅用初等行/列變化把 \(A\) 化爲單位矩陣 \(I_n\)

\(P_m \cdots P_1 A = I_n\) 可推得 \(A^{-1} = P_m \cdots P_1 I_n\) 則可推出求逆的步驟。

2.4 分塊矩陣

定義分塊矩陣,及其一些基礎運算。

例 2.4.1

\(P = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B\end{pmatrix}\)\(A, B\) 可逆,求 \(P^{-1}\)

\(X\) 爲逆矩陣,然後有 \(PX = \begin{pmatrix} I_s & 0 \\ 0 & I_t\end{pmatrix}\) 然後解四個方程即可。

接下來定義分塊對角矩陣

然後定義分塊初等變換,對於第二類可以把 \(c\) 換成可逆矩陣,對於第三類可以把 \(c\) 換成任意矩陣(如果可以加的話)

然後可以利用這個與矩陣求逆求出 \(P^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ 0 & B^{-1}\end{pmatrix}\)

例 2.4.2

\(\mathrm r(A + B) \le \mathrm r(A) + \mathrm r(B)\)

\(\mathrm r(A + B) \le \mathrm r(\begin{pmatrix} A & A + B\\ 0 & B\end{pmatrix}) = \mathrm r(\begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & B\end{pmatrix}) = \mathrm r(A) + \mathrm r(B)\)

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