3.1 二階和三階行列式
簡單介紹了下二元、三元一次方程組的求法，然後引入了行列式。
3.2 n階行列式的定義與基本性質
定義餘子式和代數餘子式。
定義行列式 \(|A| = \mathrm{det} A = \sum\limits_{i = 1}^n (-1)^{i + 1} a_{i1}M_{i1} = \sum\limits_{i = 1}^n a_{i1}A_{i1}\)
註記 3.2.2
有函數 \(\mathrm{det} : M_n(\mathbb F) \to \mathbb F, A \mapsto \mathrm{det} A = |A|\)
命題 3.2.3
設 \(A\) 爲上三角矩陣，則 \(|A|\) 等於主對角元素的乘積。特別地 \(|I_n| = 1\) 。
由定義可證。
命題 3.2.4
\(A\) 爲 \(n\) 階方陣且 \(B\) 是將 \(A\) 第 \(s\) 行元素乘以數 \(c\) 得到的矩陣，則 \(|B| = c|A|\) 。
用數學歸納法，然後展開看係數。
推論 3.2.5
若 \(n\) 階矩陣 \(A\) 某行爲 \(0\) 則 \(|A| = 0\)
註記 3.2.6
\(|cA| = c^n|A|\)
命題 3.2.7
設 \(B\) 通過交換 \(A\) 兩個不同行得到矩陣，則 \(|B| = -|A|\) 。
考慮歸納法，然後考慮交換相鄰兩行，再推廣。
推論 3.2.8
若兩行完全相同或者成比例則 \(|A| = 0\) 。
命題 3.2.9
對 \(A, B, C\) 三個 \(n\) 階方陣，若給定 \(1 \le s \le n\) 若 \(c_{sj} = a_{sj} +b_{sj}\) 其餘位置 \(a_{ij} = b_{ij} = c_{ij}\) 那麼 \(|C| = |A| + |B|\) 。
還是歸納法，然後展開的時候考慮一下兩種項即可。
註記 3.2.10
一般來說 \(|A + B| = |A| + |B|\) 不成立。
推論 3.2.11
設 \(B\) 是將 \(A\) 將第 \(i\) 行元素乘以 \(c\) 加到第 \(j\) 行 \((i \not= j)\) 上所得到的的矩陣，有 \(|B| = |A|\) 。
綜上，我們得到了 \(|P_{ij}A| = -|A|, |D_i(c)A| = c|A|, |T_{ij}(c) A| = |A|\) ，對於列變換也一樣（考慮轉置即可）
引理 3.2.12
- 若 \(D = \mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)\) 則 \(|DA| = d_1 \cdots d_n |A|\) 。
- \(A\) 可以通過第三類初等變換變成 \(\mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)\) 且 \(|A| = d_1 \cdots d_n\) 。
定理 3.2.13
\(|A^T| = |A|\)
考慮把 \(A\) 化成第三類初等矩陣和對角矩陣的乘積。
定理 3.2.14
\(|AB| = |A||B|\)
同 定理3.2.13 證明即可。
推論 3.2.15
\(|A|\) 可逆 \(\Leftrightarrow |A| \not= 0\)
而且此時有 \(|A^{-1}| = |A|^{-1}\)
\(\Rightarrow: |A||A^-1| = |I_n| = 1\)
\(\Leftarrow:\) 可化成對角矩陣，然後 \(\mathrm r(A) = n\) 即可
註記 3.2.16
\(|A| \not = 0\) 則 \(A\) 非奇異；\(|A| = 0\) 則 \(A\) 奇異。
定義 \(s\) 階子式 。
命題 3.2.17
\(\mathrm r = \mathrm r(A)\) 當且僅當 \(A\) 有一個非零的 \(r\) 階子式，且所有的 \(r+1\) 階子式全爲 \(0\) 。
先證如果存在一個非零的 \(r\) 階子式 \(\mathrm r(A) \ge r\) ，然後考慮反證法即可。
3.3 行列式的展開和Cramer法則
定理 3.3.1
只需考慮一半，另外一半用轉置即可。
首先證明 \(s = t\) 的情況，可考慮交換兩列後，利用定義證。
對於 \(s \not = t\) 時候，考慮把第 \(t\) 列用第 \(s\) 列替換，然後不難發現新矩陣行列式即這個求和式，顯然爲 \(0\) .
我們稱
爲 \(A\) 的伴隨矩陣，由上述定理得到 \(AA^* = |A|I_n = A^*A\)
推論 3.3.2
若 \(A\) 可逆，則 \(A^{-1} = |A|^{-1} A^*\)
定理 3.3.4(Cramer's rule)
若線性方程組的係數矩陣 \(A\) 可逆，則方程組有唯一解 \(x_i = \frac{D_i}{|A|}\) 。
其中 \(D_i = \{\alpha_1, \dots, \alpha_{i - 1}, \beta, \alpha_{i + 1}, \dots, \alpha_n\}\)
證明：
有唯一解 \((x_1 \dots x_n)^T = A^{-1} (b_1 \dots b_n)^T\)由推論可知，\(A^{-1} = {|A|}^{-1} A^*\)
則 \(x_i = {|A|}^{-1} \sum_{A_{ji}}b_j = {|A|}^{-1} D_i\)
進行擴展的話，只需要令 \(x_{r + 1}, \dots, x_n\) 賦上一組解即可，
然後用這個去代回去。
例 3.3.5
歸納法計算範德蒙德行列式。
例 3.3.6
第一降階定理
證明：
\[\begin{pmatrix} I_m & 0\\ -CA^{-1} & I_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B\\ 0 & D - CA^{-1}B\\ \end{pmatrix} \]
註記 3.3.7
第一降階公式
當 \(A, D\) 都可逆有
\(|D + CA^{-1}B| = |A^{-1}||D||A + BD^{-1} C|\)
3.4 行列式的等價定義
定義 3.4.1
定義逆序數，偶排列，奇排列。
定理 3.4.2
證明考慮展開每項，然後將選取的項標成 \(1\) ，最後調整成單位矩陣的次數。
推論 3.4.3
\(n \ge 2\) 時，奇偶排列各佔一半、
證明，取 \(a_{ij} = 1\) ，有 \(|A| = 0 = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in S_n} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)}\)
推論 3.4.5
設映射
滿足
則作爲 \(M_n(\mathbb F) \to \mathbb F\) 的函數 \(\mathcal D = \mathrm{det}\) 。
註記 3.4.6
上述 \(\mathcal D: M_n(\mathbb F) \to \mathbb F\) 爲行列式函數。
引理 3.4.7
排列中交換兩個數位置稱作對換。
一個排列經過一次對換後奇偶性改變。
首先考慮相鄰兩個情況，然後推廣即可。
命題 3.4.8
推廣到 \(a_{i_1j_1} a_{i_2j_2} \cdots a_{i_nj_n}\) 的符號爲 \((-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n) + \tau(j_1, \dots, j_n)}\) 。
3.5 Laplace定理與Cauchy-Binet公式
定義 3.5.1
定義 \(A\) 的一個 \(s\) 階子式
並且定義其餘子式，爲劃去那些行與列的子式
\(M \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}\)
進一步定義代數餘子式
定理 3.5.2(Laplace 定理)
取定 \(s\) 和 \(1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le n\)
證明的話，每個排列都會被枚舉到，那麼只需要考慮係數（此處比較複雜）
定理 3.5.4(Cauchy-Binet 公式)
設 \(A, B\) 分別爲 \(m \times n\) 和 \(n \times m\) 矩陣
- 若 \(m > n\) 則 \(|AB| = 0\)
- 若 \(m \le n\) 則
考慮
\[\begin{vmatrix} A & 0\\ -I_n & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & AB\\ -I_n & B \end{vmatrix}\]對於右式展開前 \(m\) 行之後，考慮係數。對於左式按前 \(m\) 行展開，然後餘子式，對前 \(n - m\) 列展開。最後比較係數
推論 3.5.5
設 \(A, B\) 分別爲 \(m \times n\) 和 \(n \times m\) 矩陣，\(s \le m\)
- 若 \(s > n\) 則 \(AB\) 所有 \(s\) 階子式爲 \(0\)
- 若 \(s \le n\) 則 \(AB\) 的 \(s\) 階子式
若行列取自相同行列的子式，稱爲主子式。
推論 3.5.6
\(AA^T\) 每個主子式都非負。
例 3.5.7(Lagrange 恆等式)
設 \(n \ge 2\) 則
然後對於前者 \(\ge 0\) 爲 \(\text{Cauchy-Schwarz}\) 不等式。