POJ2976 Dropping tests 題解 01分數規劃

題目鏈接：http://poj.org/problem?id=2976

題目大意

在某門課程中，你要進行 \(n\) 個測試。其中第 \(i\) 個測試一共有 \(b_i\) 道問題，你答對的有 \(a_i\) 道。你在這門課程中的成績定義爲

\[100 \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{\sum_{i=1}^{n} b_i} \]

現在給你一個權力，你 最多 可以選擇這 \(n\) 個測試中的 \(k\) 個測試（\(k \lt n\)），並將選擇的測試作廢（也就是說如果你將某一個測試 \(j\) 作廢，則 \(a_j\) 和 \(b_j\) 將不計入上述公式）。

舉個例子，假設你有 \(3\) 個測試，對應的答題情況爲 \(5/5, 0/1, 2/6\)（即 \(a_1=b_1=5,a_2=0,b_2=1,a_3=2,b_3=6\)）。如果你不選擇任何測試作廢，則你的成績爲 \(100 \cdot \frac{5+0+2}{5+1+6}=50\)；然而，如果你將第 \(3\) 個測試作廢，則你的成績爲 \(100 \cdot \frac{5+0}{5+1} \approx 83.33 \approx 83\)。

輸入格式

輸入包含多組測試數據，每組測試數據包含三行。
每組數據的第一行包含三個整數 \(n\) 和 \(k\)（\(0 \le k \lt n \le 1000\)），第二行包含 \(n\) 個整數，兩兩之間以一個空格分隔，表示 \(a_i\)，第三行包含 \(n\) 個整數，兩兩之間以一個空格分隔，表示 \(b_i\)（\(0 \le a_i \le b_i \le 10^9\)）。
輸入的最後一行包含兩個整數 \(0\)，表示輸入數據的結束。

輸出格式

對於每組測試數據，輸出一個整數，表示在最多將 \(k\) 個測試作廢的情況下你能夠得到的最高成績。因爲成績可能不是一個整數，所以你需要輸出答案四捨五入的整數。

樣例輸入

3 1
5 0 2
5 1 6
4 2
1 2 7 9
5 6 7 9
0 0

樣例輸出

83
100

問題分析

對於這個問題，首先我想到的是貪心去除掉比例（\(\frac{a_i}{b_i}\)）最小的 \(k\) 個，然後計算剩下的 \(n-k\) 個對應的結果。但是很快發現了一個反例：

假設 \(n=3,k=1\)，\(3\) 件物品分別爲 \(10/10,3/10,1/5\)，則：

• 保留三件物品，成績爲 \(100 \cdot \frac{10+3+1}{10+10+5} = 56\)
• 去除第 \(1\) 件物品，成績爲 \(100 \cdot \frac{3+1}{10+5} \approx 26.67 \approx 27\)
• 去除第 \(2\) 件物品，成績爲 \(100 \cdot \frac{10+1}{10+5} \approx 73.33 \approx 73\)
• 去除第 \(3\) 件物品，成績爲 \(100 \cdot \frac{10+3}{10+10} = 65\)

可以發現，第 \(3\) 個測試的 \(\frac{a_i}{b_i}\) 是最小的，但是去除第 \(3\) 個測試後的成績卻不是最高的（而是去除第 \(2\) 個測試後的成績最高），這是因爲大家不是在同一個角度（\(b_i\)）上分析的，如果分母都一樣，那麼是沒有問題的，但是分母不一樣就會導致這種貪心策略出現問題。

由此推導出我們接下來要討論的 01分數規劃 的解法。

對於本題，我們可以將其看成如下問題：

求一組 \(w_i \in \{ 0, 1\}\) 最大化

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \times w_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_i \times w_i} \]

這裏還有一個限制是 \(\sum\limits_{i=1}^n w_i \ge n-k\)

我們如果當前的 \(mid\) 滿足條件則必然

\[\frac{\sum a_i \times w_i}{\sum b_i \times w_i} \ge mid \]

\[\Rightarrow \sum a_i \times w_i - mid \times \sum b_i \times w_i \ge 0 \]

\[\Rightarrow \sum w_i \times (a_i - mid \times b_i) \ge 0 \]

爲了讓上述條件滿足，我會選 \(a_i - mid \times b_i\) 最大的 \(n-k\) 個對應的 \(w_i=1\)，其它 \(w_i\) 爲 \(0\)。

這樣，我就能通過二分答案找到最終的結果了。

示例代碼：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
const int maxn = 1010;
int n, k;
double a[maxn], b[maxn], c[maxn];
bool check(double mid) {
    for (int i = 0; i < n; i ++) c[i] = a[i] - mid * b[i];
    std::sort(c, c+n);
    double ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n-k; i ++) ans += c[n-i];
    return ans >= 0;
}
int main() {
    while (~scanf("%d%d", &n, &k) && n) {
        for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%lf", a+i);
        for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%lf", b+i);
        double L = 0, R = 1;
        while (fabs(R - L) > 1e-4) {
            double mid = (L + R) / 2.;
            if (check(mid)) L = mid;
            else R = mid;
        }
        printf("%d\n", (int) (100 * L + 0.5));
    }
    return 0;
}