一道構造題

Problem

給定一個\(n\times m\)的矩陣，每次可以對矩陣做以下操作：

1、給矩陣的一行同時加上一個數\(k\)；

2、給矩陣的一列同時加上一個數\(k\)；

3、給矩陣的一條對角線同時加上一個數\(k\)。給定\(t\)，即\(\forall j-i=t\)，滿足的\(a_{i,j}\)即爲一條對角線。

構造一種方案使得矩陣最後全爲0。無解輸出-1。

\(n,m\leq 10^3\)。

Solution

這是一道構造題，我們來考查操作下不變的關係。

考查一個\(3\times 3\)的矩陣，可以發現：\(a_{1,1}-a_{2,1}-a_{1,2}+a_{2,3}+a_{3,2}-a_{3,3}\)始終不變！

在三類操作下，變化的值總是能被抵消掉！（將其黑白染色）

所以只要能填好前兩行和前兩列，依據以上等式可以將全部矩陣推導出來。

問題就變成：將前兩行前兩列通過三種操作變成0，判斷剩下位置是否爲0。如果爲0，則肯定無解；反之則有解。

那麼現在如何將前兩行前兩列變成0？這個很簡單，把\(a_{1,1}\)和\(a_{2,2}\)變成0後，對於第一行和第一列的數字，利用操作三變成0；對於第二行第二列，利用一二操作，這樣可以不影響到\(a_{1,1}\)和\(a_{1,2}\)。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int N = 1005;
int n, m, a[N][N];
LL x[N], y[N], z[N*2];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]);
	x[1] = a[2][2]-a[1][1]; z[n] = -a[2][2];
	for (int i = 2; i <= n; i++) z[n-i+1] = -(a[i][1]+x[i]), x[i+1] = -(a[i+1][2]+z[n-i+1]);
	for (int i = 2; i <= m; i++) z[n+i-1] = -(a[1][i]+x[1]+y[i]), y[i+1] = -(a[2][i+1]+z[n+i-1]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			if (a[i][j]+x[i]+y[j]+z[j-i+n]) { puts("-1"); return 0; }
	printf("%d\n", 2*(n+m)-1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("1 %d %lld\n", i, x[i]);
	for (int i = 1; i <= m; i++) printf("2 %d %lld\n", i, y[i]);
	for (int i = 1; i <= n+m-1; i++) printf("3 %d %lld\n", i-n, z[i]);
	return 0;
}