数据结构 |B+树| 索引

1. B+树

为了加速数据库中数据的查找速度，常用的处理思路是，对表中数据创建索引。数据库索引是如何实现的呢？底层使用的是什么数据结构和算法呢？

数据库查询需求： 

• 根据某个值查找数据，比如 select * from user where id=1234；
• 根据区间值来查找某些数据，比如 select * from user where id > 1234 and id < 2345。

即单值查找和区间查找。

除了这些功能性需求之外，这种问题往往还会涉及一些非功能性需求，比如安全、性能、用户体验等。对于非功能性需求，我们着重考虑性能方面的需求。性能方面的需求，我们主要考察时间和空间两方面，也就是执行效率和存储空间。

在执行效率方面，我们希望通过索引，查询数据的效率尽可能的高；在存储空间方面，我们希望索引不要消耗太多的内存空间。

支持快速查询、插入等操作的动态数据结构

有散列表、平衡二叉查找树、跳表。

散列表。散列表的查询性能很好，时间复杂度是 O(1)。但是，散列表不能支持按照区间快速查找数据。所以，散列表不能满足我们的需求。

平衡二叉查找树。尽管平衡二叉查找树查询的性能也很高，时间复杂度是 O(logn)。而且，对树进行中序遍历，我们还可以得到一个从小到大有序的数据序列，但这仍然不足以支持按照区间快速查找数据。

跳表。跳表是在链表之上加上多层索引构成的。它支持快速地插入、查找、删除数据，对应的时间复杂度是 O(logn)。并且，跳表也支持按照区间快速地查找数据。我们只需要定位到区间起点值对应在链表中的

结点，然后从这个结点开始，顺序遍历链表，直到区间终点对应的结点为止，这期间遍历得到的数据就是满足区间值的数据。

  

 这样看来，跳表是可以解决这个问题。实际上，数据库索引所用到的数据结构跟跳表非常相似，叫作 B+ 树。不过，它是通过二叉查找树演化过来的，而非跳表。

二叉查找树改造成 B+ 树 

改造二叉查找树为B+树

为了让二叉查找树支持按照区间来查找数据，我们可以对它进行这样的改造：

树中的节点并不存储数据本身，而只是作为索引。除此之外，我们把每个叶子节点串在一条链表上，链表中的数据是从小到大有序的。经过改造之后的二叉树，就像图中这样，看起来是不是很像跳表呢？

 B+ 树中，将叶子节点串起来的链表，是单链表还是双向链表？为什么？

对于B+tree叶子节点，是用双向链表还是用单链表，得从具体的场景思考。

数据库查询，都遇到过升序或降序问题，即类似这样的sql: select name,age, ... from  user where uid > 10  and uid < 100 order by uid  asc(或者desc)，此时，数据底层实现有两种做法：

• 1）保证查出来的数据就是用户想要的顺序
• 2）不保证查出来的数据的有序性，查出来之后再排序

以上两种肯定选第一种，因为第二种做法浪费了时间（如果选用内存排序，还是考虑数据的量级）。那如何能保证查询出来的数据就是有序的呢？单链表肯定做不到，只能从头往后遍历，只能选择双向链表了。

双向链表，多出来了一倍的指针，会多占用空间。可是，数据库索引本身都已经在磁盘中了，对于磁盘来说，这点空间已经微不足道了，用空间换来时间。

在实际工程应用中，双向链表应用的场景非常广泛，毕竟能大量减少链表的遍历时间。 

改造之后，如果我们要求某个区间的数据。只需要拿区间的起始值，在树中进行查找，当查找到某个叶子节点之后，再顺着链表往后遍历，直到链表中的结点数据值大于区间的终止值为止。所有遍历到的

数据，就是符合区间值的所有数据。

索引的存储问题

但是，要为几千万、上亿的数据构建索引，如果将索引存储在内存中，尽管内存访问的速度非常快，查询的效率非常高，但是，占用的内存会非常多。

比如，给一亿个数据构建二叉查找树索引，那索引中会包含大约 1 亿个节点，每个节点假设占用 16 个字节，那就需要大约 1GB 的内存空间。给一张表建立索引，我们需要 1GB 的内存空间。如果我们要给 10

张表建立索引，那对内存的需求是无法满足的。如何解决这个索引占用太多内存的问题？

 借助时间换空间的思路，把索引存储在硬盘中，而非内存中。硬盘是一个非常慢速的存储设备。通常内存的访问速度是纳秒级别的，而磁盘访问的速度是毫秒级别的。读取同样大小的数据，从磁盘中读

取花费的时间，是从内存中读取所花费时间的上万倍，甚至几十万倍。这种将索引存储在硬盘中的方案，减少了内存消耗，但在数据查找过程中，需要读取磁盘中的索引，因此数据查询效率就相应降低很多。

二叉查找树，改造后，支持区间查找的功能就实现了。为节省内存，如果把树存储在硬盘中，那么每个节点的读取（或者访问），都对应一次磁盘 IO 操作。树的高度就等于每次查询数据时磁盘 IO 操作的次数。

磁盘IO的优化 

比起内存读写操作，磁盘 IO 操作非常耗时，所以我们优化的重点就是尽量减少磁盘 IO 操作，也就是，尽量降低树的高度。那如何降低树的高度呢？

如果我们把索引构建成 m 叉树，高度是不是比二叉树要小呢？如图所示，给 16 个数据构建二叉树索引，树的高度是 4，查找一个数据，就需要 4 个磁盘 IO 操作（如果根节点存储在内存中，其他结点存储在磁

盘中），如果对 16 个数据构建五叉树索引，那高度只有 2，查找一个数据，对应只需要 2 次磁盘操作。如果 m 叉树中的 m 是 100，那对一亿个数据构建索引，树的高度也只是 3，最多只要 3 次磁盘 IO 就能获

取到数据（100的4次方是1亿，第一层的索引节点可以放到内存中，就是3次IO操作 ）。磁盘 IO 变少了，查找数据的效率也就提高了。

 

 

 

 将 m 叉树实现 B+ 树索引，用代码实现出来，（假设我们给 int 类型的数据库字段添加索引，所以代码中的 keywords 是 int 类型的）：

/**
 * 这是 B+ 树非叶子节点的定义。
 *
 * 假设 keywords=[3, 5, 8, 10]  keywords字段为int类型，给它添加索引；
 * 4 个键值将数据分为 5 个区间：(-INF,3), [3,5), [5,8), [8,10), [10,INF)
 * 5 个区间分别对应：children[0]...children[4]
 *
 * m 值（m叉树）是事先计算得到的，计算的依据是让所有信息的大小正好等于页的大小：
 * PAGE_SIZE = ( m - 1 ) * 4 [keywordss 大小] + m * 8 [children 大小]
 */
public class BPlusTreeNode {
  public static int m = 5; // 5 叉树
  public int[] keywords = new int[m-1]; // 键值，用来划分数据区间
  public BPlusTreeNode[] children = new BPlusTreeNode[m];// 保存子节点指针
}
 
/**
 * 这是 B+ 树中叶子节点的定义。
 *
 * B+ 树中的叶子节点跟内部结点是不一样的,
 * 叶子节点存储的是值，而非区间。
 * 这个定义里，每个叶子节点存储 3 个数据行的键值及地址信息。
 *
 * k 值是事先计算得到的，计算的依据是让所有信息的大小正好等于页的大小：
 * PAGE_SIZE = k * 4 [keyw.. 大小] + k*8 [dataAd.. 大小] + 8[prev 大小] + 8[next 大小]
 */
public class BPlusTreeLeafNode {
  public static int k = 3;
  public int[] keywords = new int[k]; // 数据的键值
  public long[] dataAddress = new long[k]; // 数据地址
 
  public BPlusTreeLeafNode prev; // 这个结点在链表中的前驱结点
  public BPlusTreeLeafNode next; // 这个结点在链表中的后继结点
}

对于相同个数的数据构建 m 叉树索引，m 叉树中的 m 越大，那树的高度就越小，那 m 叉树中的 m 是不是越大越好呢？到底多大才最合适呢 ？

不管是内存中的数据，还是磁盘中的数据，操作系统都是按页（一页大小通常是 4KB，这个值可以通过 getconfig PAGE_SIZE 命令查看）来读取的，一次会读一页的数据。如果要读取的数据量超过一页的大

小，就会触发多次 IO 操作。所以，我们在选择 m 大小的时候，要尽量让每个节点的大小等于一个页的大小。读取一个节点，只需要一次磁盘 IO 操作。

叶子节点存对象，对象包含key和data。  数据是存储在叶子节点指向的磁盘地址

 

插入操作

尽管索引可以提高数据库的查询效率，索引有利也有弊，它也会让写入数据的效率下降。

数据的写入过程，会涉及索引的更新，这是索引导致写入变慢的主要原因。

对于一个 B+ 树来说，m 值是根据页的大小事先计算好的，也就是说，每个节点最多只能有 m 个子节点。在往数据库中写入数据的过程中，这样就有可能使索引中某些节点的子节点个数超过 m，这个节点的大

小超过了一个页的大小，读取这样一个节点，就会导致多次磁盘 IO 操作。如何解决这个问题呢？

实际上，处理思路并不复杂。只需要将这个节点分裂成两个节点。但是，节点分裂之后，其上层父节点的子节点个数就有可能超过 m 个。不过这也没关系，可以用同样的方法，将父节点也分裂成两个节点。这

种级联反应会从下往上，一直影响到根节点。

分裂过程如下，（图中的 B+ 树是一个三叉树。限定叶子节点中，数据的个数超过 2 个就分裂节点；非叶子节点中，子节点的个数超过 3 个就分裂节点）。

 

删除操作

正是因为要时刻保证 B+ 树索引是一个 m 叉树，所以，索引的存在会导致数据库写入的速度降低。实际上，不光写入数据会变慢，删除数据也会变慢。

我们在删除某个数据的时候，也要对应的更新索引节点。这个处理思路有点类似跳表中删除数据的处理思路。频繁的数据删除，就会导致某些结点中，子节点的个数变得非常少，长此以往，如果每个节点的子节

点都比较少，势必会影响索引的效率。

我们可以设置一个阈值。在 B+ 树中，这个阈值等于 m/2。如果某个节点的子节点个数小于 m/2，我们就将它跟相邻的兄弟节点合并。不过，合并之后结点的子节点个数有可能会超过 m。针对这种情况，借助插入数据时候的处理方法，再分裂节点。

删除操作如下：（图中的 B+ 树是一个五叉树。我们限定叶子节点中，数据的个数少于 2 个就合并节点；非叶子节点中，子节点的个数少于 3 个就合并节点。）

img

B+ 树的结构和操作，跟跳表非常类似。理论上讲，对跳表稍加改造，也可以替代 B+ 树，作为数据库的索引实现的。

B+ 树发明于 1972 年，跳表发明于 1989 年，跳表的作者有可能就是受了 B+ 树的启发，才发明出跳表来的。

B+树总结 

数据库索引实现，依赖的底层数据结构，B+ 树。通过存储在磁盘的多叉树结构，做到了时间、空间的平衡，既保证了执行效率，又节省了内存。

 B+ 树的特点：

• 每个节点中子节点的个数不能超过 m，也不能小于 m/2；
• 根节点的子节点个数可以不超过 m/2，这是一个例外；
• m 叉树只存储索引，并不真正存储数据，这个有点儿类似跳表；
• 通过链表将叶子节点串联在一起，这样可以方便按区间查找；
• 一般情况，根节点会被存储在内存中，其他节点存储在磁盘中。

除了 B+ 树，还有 B 树、B- 树。实际上，B- 树就是 B 树，英文翻译都是 B-Tree，这里的“-”并不是相对 B+ 树中的“+”，而只是一个连接符。这个很容易误解。

而 B 树实际上是低级版的 B+ 树，或者说 B+ 树是 B 树的改进版。B 树跟 B+ 树的不同点主要集中在这几个地方：

• B+ 树中的节点不存储数据，只是索引，而 B 树中的节点存储数据；
• B 树中的叶子节点并不需要链表来串联。

也就是说，B 树只是一个每个节点的子节点个数不能小于 m/2 的 m 叉树。

 

B+tree的理解抓住几个要点：

• 1. 理解二叉查找树
• 2. 理解二叉查找树会出现不平衡的问题（红黑树理解了，对于平衡性这个关键点就理解了）
• 3. 磁盘IO访问太耗时
• 4. 当然，链表知识跑不了 —— 别小瞧这个简单的数据结构，它是链式结构之母
• 5. 最后，要知道典型的应用场景：数据库的索引结构的设计

对平衡二叉查找树进行改造，将叶子节点串在链表中，就支持了按照区间来查找数据。散列表也经常跟链表一块使用，如果把散列表中的结点，也用链表串起来，能否支持按照区间查找数据呢？

可以支持区间查询。java中linkedHashMap就是链表+HashMap的组合，用于实现缓存的lru算法比较方便，不过要支持区间查询需要在插入时维持链表的有序性，复杂度O(n).效率比跳表和b+tree差

JDK中的LinkedHashMap为了能做到保持节点的顺序（插入顺序或者访问顺序），就是用双向链表将节点串起来的。

什么数据结构可以做到O(logn)的范围查询？

跳表，B+树，数据库索引确实也是用的B+树。

那么问题来了，跳表和B+树在实现难度和性能上有什么区别，在数据量很大的情况下，表现性能如何，为什么redis选跳表？

B+树主要是用在外部存储上，为了减少磁盘IO次数。

跳表比较适合内存存储。

实际上，两者本质的设计思想是雷同的，性能差距还是要具体看应用场景，无法从时间复杂度这么宽泛的度量标准来度量了。

 2. 索引

索引的需求定义

对于系统设计需求，一般可以从功能性需求和非功能性需求两方面来分析。

1. 功能性需求

对于功能性需求大致要考虑以下几点。

数据是格式化的还是非格式化数据？要构建索引的原始数据，类型很多。分为两类，一类是结构化数据，比如MySQL中的数据；另一类是非结构化数据，比如搜索引擎中的网页。对于非结构化数据，我们一般

需要做预处理，提取出查询关键词，对关键词构建索引。

数据是静态数据还是动态数据？如果原始是一组静态数据，也就是说，不会有数据的增加、删除、更新操作，所以，我们在构建索引的时候，只需要考虑查询效率就可以了。这样，索引的构建就相对简单些。不过，大部分情况下，都是对动态数据构建索引，也就是说，我们不仅要考虑到索引的查询效率，在原始数据更新时，我们还需要动态的更新索引。支持动态数据集合的索引，设计越来相对更复杂些。

索引是存储在内存还是硬盘？如果索引存储在内存中，那技术要求的速度肯定要比存储的磁盘中的高。但是，如果原始数据量很大的情况下，对应的索引可能也会很大。这个时候，因为内存有限，我们可能就不得不将索引存储在硬盘中了。实际上，还有第三种情况，那就是一部分存储在内存，一部分存储在磁盘，这样就可以兼顾内存消耗和查询效率。

单值查找还是区间查找？所谓单值查找，也就是根据查询关键词等于某个值的数据。这种查询需求最常见。所谓区间查找，就是查找关键词处于某个区间值的所有数据。实际上，不同的应用场景，查询的需求会多种多样。

单关键词查找还是多关键词组合查找？比如，搜索引擎中构建的索引，既要支持一个关键词的查找，比如“数据结构”，也要支持组合关键词查找，比如“数据结构 AND算法”。对於单关键词查找，索引构建起来相

对简单些。对于多关键词查找来说，要分多种情况。像MySQL这种结构化数据的查询需求，我们可以实现针对多个关键词组合，建立索引；对于像搜索引擎这样的非结构数据的查询需求，我们可以针对间个关

键词构建索引，然后通过集合操作，比如求并集、求交集等，计算出多个关键词组合的查询结果。

实际上，不同的场景，不同的原始数据，对于索引的需求也会千差万别。

2.非功能性需求

不管是存储在内存中还是磁盘中，索引对存储空间的消耗不能过大。如果存储在内存中，索引对占用存储空间的限制就会非常苛刻。毕竟内存空间非常有限，一个中间件启动后就占用几个GB的内存，开发者显

然是无法接受的。如果存储在硬盘中，那索引对占用存储空间的限制，稍微会放宽一些。但是，我们也不能掉以轻心。因为，有时候，索引对存储空间消耗会超过数据。

在考虑索引查询效率的同时，我们还是考虑索引的维护成本。索引的目的是提高查询效率，但是，基于动态数据集合构建的索引，我们还要考虑到索引的维护成本。因为在原始数据动态增删改的同时，我们也需

要动态的更新索引。而索引的更新势必会影响到增删改的操作性能。

构建索引常用的数据结构

实际上，常用来构建索引的数据结构，即支持动态数据集合的数据结构。比如，散列表、红黑树、跳表、B+树。除此之外，位图、布隆过滤器可以作为辅助索引，有序数组可以用来对静态数据构建索引。

① 散列表增删改查操作的性能非常好，时间复杂度是O(1)。一些键值数据库，比如Redis、Memcache，就是使用散列表来构建索引的。这类索引，一般都构建在内存中。

② 红黑树作为一种常用的平衡二叉查找树，数据插入、删除、查找的时间复杂度是O(logn)，也非常适合用来构建内存索引。Ext文件系统中，对磁盘块的索引，用的就是红黑树。

③ B+ 树比起红黑树来说，更加适合构建存储在磁盘的索引。B+树是一个多叉树，所以，以相同个数的数据构建索引，B+树的高度要低于红黑树。当借助索引查询数据的时候，读取B+树索引，需要的磁盘IO次

数更少。所以，大部分关系型数据库的索引，比如MySQL、Oracle，都是用B+树来实现的。

④ 跳表也支持快速添加、删除、查找数据。而且，我们通过灵活调整索引结点个数和数据个数之间的比例，可以很好的平衡对内存的消耗及其查询效率。Redis中的有序集合，就是用跳表来构建的。

⑤ 位图和布隆过滤器这两个数据结构，也可以用于索引中，辅助存储在磁盘中的索引，加速数据查询的效率。

       布隆过滤器有一定的判错率。但是，我们可以规避它的短处，发挥它的长处。尽管对于判定存在的数据，有可能并不存在，但是对于判定不存在的数据，那肯定就不存在。而且，布隆过滤器还有一个更大的特点，那就是内存占用非常少。我们可以针对数据，构建一个布隆过滤器，并且存储在内存中。当要查询数据的时候，我们可以先通过布隆过滤器，判定是否存在。如果数据不存在，那我们就没必要读取磁盘中的索引了。对于数据不存在的情况，数据查询就更加快速了。

⑥ 有序数组也可以被作为索引。如果数据是静态的，也就是不会插入、删除、更新操作，那我们可以把数据的关键词（查询用的）抽取出来，组织成有序数组，然后利用二分查找算法来快速查找数据。