圖上負環判定小記

本文全文參考了 《算法競賽進階指南》by lydrainbowcat

如果一個環上所有邊的權值和爲負數，稱其爲負環。

常用的能夠判斷負環的算法一般就是 Bellman-Ford 系的最短路算法。

若圖中存在負環，那麼直觀表現爲：總是存在一條邊 \((x,y)\)， 使得 \(\sf d[y]\le d[x]+w(x,y)\) 不被滿足。根據抽屜原理， 若源點到節點 \(x\) 的最短路包含 \(\ge n\) 條邊， 那麼這條路徑必然重複經過了某個點 \(p\)， 如果這個環是正環， 顯然去掉這個環後會得到一條更短的最短路， 與假設矛盾， 於是這個環必定是負環， 由負環的性質知從源點到節點 x 不存在最短路。

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Bellman-Ford 算法判定負環

若經過 n 次迭代後， 算法未結束， 則圖中存在負環， 反之不存在。

示例代碼， 參考了 OI-wiki：

bool Bellman_Ford() {
	for(int i=0; i<n; ++i) {
		bool jud = false;
		for(int j=1; j<=n; ++j)
			for(int k=h[j]; ~k; k=nxt[k])
				if(dist[p[k]] > dist[j] + w[k])
					dist[p[k]] = dist[p[k]] + w[k],
							jud = true;
		if(!jud) break;
	}
	for(int j=1; j<=n; ++j)
		for(int k=h[j]; ~k; k=nxt[k])
			if(dist[p[k]] > dist[j] + w[k])
				return true;
	return false;	
}

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隊列優化的 Bellman-Ford 判負環：

設 \(cnt[x]\) 表示從源點到 \(x\) 的最短路經過的邊數， 在最短路執行的過程中維護其， 不難發現可以輕鬆地判斷某一時刻是否有某個 \(x\) 滿足 \(cnt[x]\ge n\)， 就可以判負環了。

另一種方法是記錄每個點入隊的次數，次數達到 n 的時候說明有負環。（我還不懂這個）