動態規劃算法(01揹包問題)

一. 動態規劃算法介紹：

動態規劃算法和分治算法類似，也是將待求解問題分成若干個小問題一步步求解，不同的是，每一個小問題求解過程依賴於上一個小問題的解。動態規劃問題可以通過填表法來得到解，最經典的應用就是揹包問題。

二. 揹包問題：

1. 揹包問題介紹：

揹包問題，就是有一個能裝重量爲X的揹包，現有重量W和價值V各不相同的幾件物品，在不超過揹包容量X的情況下，如何使得揹包內物品的總價值V最大。如果可以裝相同的物品，稱爲完全揹包問題，不可以裝相同的物品，稱爲01揹包問題。

2. 填表法推導過程：

假如現有一個揹包容量爲4，現有3件物品，其價值和體積如下表：

物品	重量W	價值V
A	1	15
B	4	30
C	3	20

在物品不能相同的情況下，如何裝才能使總價值最大呢？顯然是把A和C都裝進揹包，可以獲得總價值爲35，這種情況是最優的，那麼是如何推導出來的呢？

我們可以把這個問題分成一個個的小問題來解決，現在的揹包能裝的重量是4，那我們就看看揹包容量爲1、2、3、4的時候，裝東西能產生的最大價值分別是多少。這裏要注意兩點：

• 分配容量的規則爲最小重量的整數倍，這裏物品最小重量是1，所以分別看揹包容量爲1、2、3、4時裝東西的最大價值；如果最小重量是2，那麼就看揹包容量爲2、4的時候能裝的最大價值。

• 後一個問題的解依賴於前一個問題的解。

現在用填表法來解決這個揹包問題：

物品\揹包容量	0	1	2	3	4
無
A
B
C

首先說明一下這個表，0,1,2,3,4表示的是揹包容量，A，B，C表示的是物品，“無”表示的是沒有物品的時候。空出來的格子就填寫當前能夠得到的最大價值。顯然第二行和第二列都是0，第二行表示不裝東西的時候，那麼不管揹包容量是多少，不裝東西價值都是0；第一列表示揹包容量爲0的時候，啥都裝不了，所以價值也是0。

物品\揹包容量	0	1	2	3	4
無	0	0	0	0	0
A	0
B	0
C	0

那麼接下來就看第三行，即只裝物品A的時候，能夠得到的最大價值。因爲規定了不能放入重複的物品，所以即使容量足夠的情況下也只能放入一件物品A，所以在容量不夠裝A之前，價值是0，能夠裝A之後，價值就是A的價值，即15。

物品\揹包容量	0	1	2	3	4
無	0	0	0	0	0
A	0	15	15	15	15
B	0
C	0

接下來再看第四行，第四行的時候，不是隻能裝B，之前說的那句話，“後一個問題的解依賴於前一個問題的解”，即第四行的時候，是要考慮裝A的情況，即要依賴第三行。

• 第四行第三列：容量爲1，沒得選，因爲B的重量是4，只能裝A，所以這裏填15(沒得選的情況，就直接把上一行該列的值複製下來即可)；

• 第四行第四列：容量爲2，也沒得選，複製上一行該列的值；

• 第四行第五列：容量爲3，還是沒得選，複製上一行該列的值；

• 第四行第六列：容量爲4，可以選擇裝B，也可以不裝B。怎麼判斷裝不裝呢？看B的價值是否大於該列上一行的值，B的價值是30，而該列上一行的值是15,30更大，所以我們選擇裝B，這裏填入30，而且裝了B之後就沒有剩餘容量了。

物品\揹包容量	0	1	2	3	4
無	0	0	0	0	0
A	0	15	15	15	15
B	0	15	15	15	30
C	0

來看最後一行：

• 第五行第三列：容量爲1，沒得選，因爲C的重量是3，裝不下，所以直接複製上一行該列的值，即15；

• 第五行第四列：容量爲2，也沒得選，複製上一行該列的值；

• 第五行第五列：容量爲3，可以選擇裝C，也可以選擇不裝複製上一行該列的值，但是C的價值是20，大於15，所以這裏填20，而且裝了C之後沒有剩餘容量了；

• 第五行第六列：容量爲4，可以選擇裝C，也可以不裝C。不裝的話，就直接複製上一行該列的值，是30；如果裝C，C消耗的容量是3，價值是20，還剩餘1個容量，那麼就去容量爲1的那一列，找一個最大值，是15，因爲20 + 15 = 35 > 30，所以這裏填入35。

物品\揹包容量	0	1	2	3	4
無	0	0	0	0	0
A	0	15	15	15	15
B	0	15	15	15	30
C	0	15	15	20	35

通過上面這個推導過程可以發現，A對應的這一行就只考慮物品A的情況，B這一行不僅要考慮B，還要考慮A，C這一行就要考慮A和B。當有A、B、C三種物品且揹包容量爲4時，能夠獲得的最大價值就是C這一行，4對應的這一列的值，即35。

3. 總結公式：

我們把上面的第二行第二列開始的部分看成是一個二維數組，如下：

0	0	0	0	0
0	15	15	15	15
0	15	15	15	30
0	15	15	20	35

所以二維數組可以定義成：

int[][] tv = new int[4][5]

tv[i][j]就表示前i個物品，裝入容量爲j的揹包時，能夠獲得的最大價值。
4怎麼來的？總共有3件物品，加上沒有物品的情況，就是4；5怎麼來的？揹包容量被我們拆成了1、2、3、4，再加上容量爲0的情況，就是5。

我們再定義一個數組用來保存物品的重量：

int[] w = {1,4,3}; // 物品的重量

還需要定義一個數組來保存物品的價值：

int[] v = {15,30,20}; // 物品的價值

(1). tv[i][0] = 0，表示第一行都是0；tv[0][j] = 0，表示第一列都是0；

(2). w[i]表示的是第i件物品的重量，v[i]表示的是第i件物品的價值；j是列的索引，第0列表示揹包容量爲0時，第1列表示揹包容量爲1時，所以j表示的是當前揹包的容量。

(3). 當w[i] > j時，那麼就讓tv[i][j] = tv[i-1][j]。也就是說，第i件物品的重量大於當前揹包的容量時，那麼久直接將上一行該列的那個值複製過來。

(4). 當w[i] <= j時，那麼就讓tv[i][j] = max{tv[i-1][j], v[i] + tv[i-1][j-w[i]]}。條件就是第i件物品的重量小於等於揹包容量時，此時有兩種情況，一個是裝，一個是不裝，怎麼判斷裝不裝呢，那就判斷裝能獲得的總價值更大還是不裝能獲得的總價值更大。

• 如果不裝第i件物品，能獲得的最大價值那就和上一行該列的值一樣，即tv[i-1][j]；

• 如果裝第i件物品，能夠獲得的最大價值就是第i件物品的價值加上裝了第i件物品後剩餘容量能夠獲得的價值。v[i]是第i件物品的價值，怎麼理解tv[i-1][j-w[i]]？首先看j-w[i]，意思就是當前揹包容量減去第i件物品的重量，那也就是當前揹包容量下如果裝第i件物品後剩餘的容量，所以tv[i-1][j-w[i]]的意思就是，去上一行找揹包容量爲j-w[i]時的那個值，也就是當前揹包裝了第i件物品後剩餘容量能夠獲得的最大價值；v[i] + tv[i-1][j-w[i]]就是如果裝第i件物品能夠獲得的最大價值。

• 經過上面的分析，tv[i][j] = max{tv[i-1][j], v[i] + tv[i-1][j-w[i]]}就很好理解了，當揹包容量爲j時，裝前i件物品能夠獲得的最大價值就是在裝與不裝兩種情況中取最大值。

3. 代碼實現：

public class BagProblem {
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1,4,3}; // 物品的重量
        int[] v = {15,30,20}; // 物品的價值
        int m = 4; // 揹包的容量
        System.out.println(maxValue(w, v, m));
    }
    
    public static int maxValue(int[] w, int[] v, int m) {
        int n = w.length; // 物品個數
        int[][] tv = new int[n+1][m+1];
        for(int i=0; i<v.length; i++) {
            tv[i][0] = 0; // 第一列全部設置爲0
        }
        for(int i=0; i<tv[0].length; i++) {
            tv[0][i] = 0; // 第一行全部設置爲0
        }
        for(int i=1; i<tv.length; i++) {
            for(int j=1; j<tv[0].length; j++) {
                if (w[i-1] > j) { // 循環中i從1開始，所以要減1
                    tv[i][j] = tv[i-1][j];
                } else {
                    // 循環中i從1開始，所以w和v中的i要減1
                    tv[i][j] = Math.max(tv[i-1][j], v[i-1] + tv[i-1][j-w[i-1]]);
                }
            }
        }
        return tv[n][m];
    }

}