瞎扯
\(\text{K-Dimensional Tree}\) 简称 \(\text{K-D Tree}\)，是一种 \(K\) 维的二叉搜索树。能实现的功能有：
- 查找最近/最远点对
- 矩形数点
基本操作
建树
\(\text{K-D Tree}\) 中每个节点需要维护一个 \(K\) 维空间，故需要维护：\(K\) 维空间中的一个点、该节点在 \(K\) 维空间中表示的区域，左/右儿子分别是哪个点。一般使用如下结构体：
struct point {
int lson, rson;
ll d[K], mn[K], mx[K];
// d[] 该节点代表的点的座标，mn[] 存该点代表的空间中的点的每一维的最小值，mx[] 则是最大值
friend bool operator < (point p1, point p2) {
// 建树操作需要用到比较大小，现在不理解就继续往下看
if (p1.d[f] ^ p2.d[f]) return p1.d[f] < p2.d[f];
for (int i = 0; i < K; ++i) {
if (p1.d[i] ^ p2.d[i]) return p1.d[i] < p2.d[i];
}
return true;
}
}tree[M];
每个节点维护了一个 \(K\) 维的空间。普通的二叉搜索树的建树方式为一个节点左边的节点都比该节点小，该节点右边的节点都比该节点大，即有一个判断两点大小的标准。在 \(\text{K-D Tree}\) 中常用如下方式进行建树：
一般根节点深度为 \(0\)，深度为 \(0\) 的按第 \(1\) 维座标大小分，深度为 \(1\) 的按第 \(2\) 维座标大小分，深度为 \(d\) 的按 \((d\bmod K) +１\) 维座标的大小分。为了使建出来的树尽量平衡（左右尽量节点数一样）以保证优秀的时间复杂度，每次选择该维上的中位数来分，选的这个中位数就是一个根节点。
这里就需要用到 <algorithm> 中的 std::nth_element(a + l, a + mid, a + r + 1)，作用是将 a 数组中的 \([l,r]\) 这一段中第 \(mid - l + 1\) 小的元素放到 \(mid\) 的位置上，并保证左边的数都比 \(mid\) 小，右边的数都比 \(mid\) 大。时间复杂度是 \(O(n)\)，因为按照如上方式建树树高在 \(\log n\) 级别上，每一层只需要调用一次该函数，所以建树的复杂度是 \(O(n\log n)\)。建树代码如下：
void pushup(int u, int v) {
for (int i = 0; i < K; ++i) {
tree[u].mn[i] = min(tree[u].mn[i], tree[v].mn[i]);
tree[u].mx[i] = max(tree[u].mx[i], tree[v].mx[i]);
}
}
int build(int l, int r, int t) {
if (l > r) return 0;
int mid = (l + r) >> 1; f = t;//这个 f 和上面结构体中的 f 都代表按哪一维划分。
std::nth_element(tree + l, tree + mid, tree + r + 1);
for (int i = 0; i < K; ++i) {
tree[mid].mn[i] = tree[mid].mx[i] = tree[mid].d[i];
}
tree[mid].lson = build(l, mid - 1, (t + 1) % K);
tree[mid].rson = build(mid + 1, r, (t + 1) % K);
if (tree[mid].lson) pushup(mid, tree[mid].lson);
if (tree[mid].rson) pushup(mid, tree[mid].rson);
return mid;
}
插入
要插入 \((x,y)\)，就从根节点开始，按照这一层的划分标准来判断是插到左子树中还是右子树中。代码如下：
void ins(int now, int x, int y, int t) {
if (t ? tree[now].d[t] >= y : tree[now].d[t] >= x) {
if (tree[now].lson) ins(tree[now].lson, x, y, (t + 1) % K);
else {
tree[now].lson = ++n;
tree[n].d[0] = x, tree[n].d[1] = y;
for (int i = 0; i < K; ++i) {
tree[n].mn[i] = tree[n].mx[i] = tree[n].d[i];
}
}
pushup(now, tree[now].lson);
} else {
if (tree[now].rson) ins(tree[now].rson, x, y, (t + 1) % K);
else {
tree[now].rson = ++n;
tree[n].d[0] = x, tree[n].d[1] = y;
for (int i = 0; i < K; ++i) {
tree[n].mn[i] = tree[n].mx[i] = tree[n].d[i];
}
}
pushup(now, tree[now].rson);
}
}
但是这样有个问题，经过精心构造的数据能够在多次插入后形成一条很长的链，使得树高变大导致时间复杂度退化。因此需要下面的重构操作。
重构
还不会，咕着。
一个针对离线插入点的小 Trick
从这里学的，一开始建树的时候把所有的点都放到树上（包括之后的操作中插入的）利用标记来表示当前这个点是否被插入，对代码感兴趣可以先看这个提交记录，有时间再详细写。
常用操作
查询最近/最远距离
下面以最近距离为例。
估价函数
用于计算出当前位置到目标区域的距离的上下界。
上界：走到目标区域的某一个角上。
下界：走到目标区域的某一条边上（在矩形内部下界为 \(0\)）
曼哈顿距离
从 \((x1,y1)\) 到 \((x2,y2)\) 的距离为 \(|x1-x2|+|y1-y2|\)。估价函数如下：
// (x,y) 到矩形 now 的最小曼哈顿距离的估价函数（走到边上）
max(abs(x - tree[now].mn[0]), abs(tree[now].mx[0] - x)) + max(abs(y - tree[now].mn[1]), abs(tree[now].mx[1] - y));
// (x,y) 到矩形 now 的最大曼哈顿距离的估价函数（走到四个角上）
max(tree[now].mn[0] - x, 0) + max(x - tree[now].mx[0], 0) + max(tree[now].mn[1] - y, 0) + max(y - tree[now].mx[1], 0);
欧几里得距离
从 \((x1,y1)\) 到 \((x2,y2)\) 的距离为 \((x1-x2)^2+(y1-y2)^2\)。估价函数如下：
//sqr(x) 求的是 x * x
// (x,y) 到矩形 now 的最小欧几里得距离的估价函数（走到边上）
sqr(max(tree[now].mn[0] - x, 0)) + sqr(max(x - tree[now].mx[0], 0)) + sqr(max(tree[now].mn[1] - y, 0)) + sqr(max(y - tree[now].mx[1], 0));
// (x,y) 到矩形 now 的最大欧几里得距离的估价函数（走到四个角上）
max(sqr(tree[now].mn[0] - x), sqr(x - tree[now].mx[0])) + max(sqr(tree[now].mn[1] - y), sqr(y - tree[now].mx[1]));
查询
从树的根节点开始，先将树的根节点到询问点的距离作为最小距离，然后使用估价函数（提到估价函数有木有觉得很玄学）估计左右两颗子树的最小值，判断是否需要进入子树中进行查找，如果需要进入子树中查找则先进入估计值小的。比较像使用估价函数对一次搜索进行了剪枝，效率如何在于估价函数。代码如下：
void query_mn(int now, int x, int y) {
int temp = abs(tree[now].d[0] - x) + abs(tree[now].d[1] - y);
if (temp < minn) minn = temp; //先暂定根节点
//需要根据题意判断能否为两个相同的点之间的距离，也就是 0
int templ = tree[now].lson ? fmn(tree[now].lson, x, y) : inf;
int tempr = tree[now].rson ? fmn(tree[now].rson, x, y) : inf;
// fmn() 函数就是估价函数，对左右子树进行估价，然后判断是否去子树里搜索
if (templ < tempr) {
if (templ < minn) query_mn(tree[now].lson, x, y);
if (tempr < minn) query_mn(tree[now].rson, x, y);
} else {
if (tempr < minn) query_mn(tree[now].rson, x, y);
if (templ < minn) query_mn(tree[now].lson, x, y);
}
}