AtCoder 亂做

感覺只會抄題解。。

AGC020E

首先自己可以想到如果只是要單純的求一個串的方案數可以區間 dp：觀察這個表達式，可以寫成

f := g | g + f
g := '0' | '1' | '(' + f + '*' + 'x' +  ')'

其中 x 是一個數字，要求 \(x>1\)，並且 \(f\) 是 \(g\) 的一個長度爲 \(x\) 的循環節。

那麼就可以根據上面的定義寫出 dp 了：設 \(f_{l,r},g_{l,r}\) 表示區間 \([l,r]\) 的答案，根據上面的定義可以得到轉移：

\[\begin{aligned} f_{l,r} &= g_{l,r}+\sum_{i=l}^{r-1} g_{l,i}f_{i+1,r}\\ g_{l,r} &=\begin{cases} 1& l = r\\ \sum_{d|(r-l+1),d < r-l+1}[\text{d 是 s[l,r] 的循環節}] f_{l,l+d-1}& \text{otherwise} \end{cases}\\ \end{aligned} \]

接下來就看題解了。

題解裏說，我們把狀態改成 \(f_s\) 表示字符串 \(s\) 的所有子串的方案數，然後類似做就好了。這時候轉移 \(f\) 就是枚舉斷開，\(g\) 就是枚舉循環節，將所有長度爲 \(d\) 的子串的按位與拿下去做。這樣看起來十分暴力，但是我們可以推一下複雜度：設 \(T_f(n)\) 表示長度爲 \(n\) 的 \(f\) 的計算時間，\(T_g(n)\) 表示長度爲 \(n\) 的 \(g\) 計算時間，有（這裏要注意 時間是相加不是相乘）：

\[T_f(n) = \sum_{i=1}^n (n-i+1)T_g(i)\\ T_g(n) = \sum_{d|n,d < n} T_f(d)\\ \Rightarrow T_f(n) = \sum_{i=1}^n (n-i+1)\sum_{d|i,d < i} T_f(d) \]

注意這裏第一行是乘 \(n-i+1\) 而不是加 \(T_f(n-i)\) 的原因 \(f\) 不會生成新的串，只會導致 \(g\) 被多算幾遍，那麼一個 \(g\) 會被枚舉 \(n-len+1\) 次。這樣大概運算是 29310258 反正能過（

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define DB double
#define U unsigned
#define P std::pair
#define LL long long
#define LD long double
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define SZ(x) ((int)x.size())
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl

const int MAXN = 100+5;
const int ha = 998244353;
std::string str;

inline void add(int &x,int y){
    x += y-ha;x += x>>31&ha;
}

std::map<std::string,int> f,g;
int F(std::string);
int G(std::string);

inline int F(std::string s){
    if(s.empty()) return 1;
    if(f.count(s)) return f[s];
    int res = 0;
    FOR(i,1,SZ(s)) add(res,1ll*G(s.substr(0,i))*F(s.substr(i,SZ(s)-i))%ha);
    f[s] = res;return res;
}

inline int G(std::string s){
    if(s.empty()) return 1;
    if(s == "0") return 1;
    if(s == "1") return 2;
    if(g.count(s)) return g[s];
    int res = 0;
    FOR(d,1,SZ(s)-1){
        if(SZ(s)%d) continue;
        std::string nxt="";
        FOR(i,0,d-1){
            bool flag = 1;
            for(int j = i;j < SZ(s);j += d) flag &= (s[j]=='1');
            if(flag) nxt += "1";
            else nxt += "0";
        }
        add(res,F(nxt));
    }
    return res;
}

int main(){
    std::cin >> str;
    printf("%d\n",F(str));
    return 0;
}