A
要滿足向右遞減向左遞減相當於01，02的分界點，上一行始終在下一行的右側，轉化爲不相交路徑，套用LGV定理
B
將矩陣看作一個鄰接矩陣，於是問題轉化成了：請計算有多少個無向圖滿足所有點的度數都爲2
則圖應該是有若干個環組成，dp[i]表示有i個點的圖的個數，然後可以枚舉最後一個點所在環轉移
C
\(X_i\)表示燈\(i\)是亮否
求\(E(sum（x_i)^3) = E(\sum X_i X_j X_k)=\sum P(X_i X_j X_k)\)
上面將3次方展開得後式
開關矩陣\(A_{ij}\) 對於任意三個燈泡\(x,y,z\)對應矩陣三列\(A_{kx} A_{ky} A_{kz}\) 得到n*3的矩陣\(B_{ij}\) 則使的x，y，z都爲亮着的概率就是從B矩陣行中任取子集使每列異或和爲0的概率，子集共有\(2^n\)種，矩陣中的線性無關的行向量總能張成與先行相關向量異或爲0的向量，設矩陣的秩爲r，則概率就是\(\frac{2^{n - r}}{2^{n}} = \frac{1}{2^r}\)
因爲行秩等於列秩，而只有三列，只需要求列秩，枚舉即可秩爲0，1，2的情況即可
D
圖同構，考慮枚舉點的映射關係，暴力判斷
E
定義dp[i] 代表長度爲i的子序列個數。
pre[i][j] 記錄長度爲i，以j數字結尾的子序列個數。
轉移時對於i，枚舉dp[j] +dp[j - 1]，此時重複情況爲pre[a[i]][j]減去
不斷更新pre，pre[a[i]][j] = dp[j - 1];
F
求\(\sum_{x_1 = 1}^{a_1}\sum_{x_2 = 1}^{a_2}...\sum_{x_n = 1}^{a_n} \sum max{x_1,x_2,....x_n}\)
將a排序，對於\(a_{i - 1}< x <= a_i\)，
對於\(a_1 到a_{i - 1}\)可與隨便選，方案數爲\(\prod_{j = 1}^{i - 1}a_i\)
對於\(a_i到a_n\)，當 \(a_{i - 1} + 1< x <= a_i\) 需要保證\(a_i到a_n\)中至少一個爲x，容斥得方案數\(\sum_{j = 1}^{n - i + 1}C_{n - i + 1}^{j} (-1)^{j - 1} * x^{n - i + 1 - j} =x^{n - i + 1} -(x - 1)^{n - i + 1}\) 總方案數爲前後兩部分乘積
則對於x的答案爲\((\prod_{j = 1}^{i - 1}a_i)* \sum_{j = 1}^{n - i + 1} x * C_{n - i + 1}^{j} (-1)^{j - 1} * x^{n - i + 1 - j} =x^{n - i + 1} -(x - 1)^{n - i + 1}\)
對於後半部分另
$g(a_i) = \sum_{x = 1} ^ {a_i}x*(x^{n - i + 1}-(x - 1)^{n - i + 1}) $
則後半部分爲\(g(a_i) - g(a_{i - 1})\)
對於\(g(a_i)\)最高項爲\(n - i\)則其對應一個\(n - i + 1\)的多項式，只需要求出\(n-i+2\)點值後插值可得到\(g(a_i)\)
G
斯坦納樹
等會寫
H
treedp+斜率優化
等會寫
J
莫隊暴力