\[\begin{align}
aF(z) + bG(z) &= \sum_n (af_n+bg_n)z^n
\\
z^mG(z) &= \sum_n g_{n-m}z^n, \quad m\ge 0
\\
\frac{G(z) - g_0 - g_1z - \cdots - g_{m-1}z^{m-1}}{z^m} &= \sum_ng_{n+m}z^n, \quad m\ge 0
\\
G(cz) &= \sum_n c^ng_nz^n
\\
G'(z) &= \sum_n(n+1)g_{n+1}z^n
\\
zG'(z) &= \sum_nng_nz^n
\\
\int_0^z G(t){\rm d} t &= \sum_{n\ge 1}\frac 1ng_{n-1}z^n
\\
F(z)G(z) &= \sum_n\left(\sum_k f_ng_{n-k}\right)z^n
\\
\frac 1{1-z}G(z) &= \sum_n\left(\sum_{k\le n}g_k\right)z^n
\end{align}
\]
以上是處理生成函數的基本方法。
以下是常用的生成函數。
\[\begin{array}{|l|l|}
\hline
生成函數 & 封閉形式
\\
\hline
\sum_{n\ge 0} [n=0]z^n & 1
\\
\sum_{n\ge 0}[n=m]z^n & z^m
\\
\sum_{n \ge 0} z^n & \frac 1{1-z}
\\
\sum_{n\ge 0}(-1)^nz^n & \frac 1{1+z}
\\
\sum_{n\ge 0}[2\mid n]z^n & \frac 1{1-z^2}
\\
\sum_{n\ge 0}[m\mid n]z^n & \frac 1{1-z^m}
\\
\sum_{n\ge 0}(n+1)z^n & \frac 1{(1-z)^2}
\\
\sum_{n\ge 0}2^nz^n & \frac 1{1-2z}
\\
\sum_{n\ge 0}\binom 4n z^n & (1+z)^4
\\
\sum_{n\ge 0}\binom cn z^n & (1+z)^c
\\
\sum_{n\ge 0}\binom {c+n-1}{n} z^n & \frac 1{(1-z)^c}
\\
\sum_{n\ge 0}c^nz^n & \frac 1{1-cz}
\\
\sum_{n\ge 0}\binom{m+n}mz^n & \frac 1{(1-z)^{m+1}}
\\
\sum_{n\ge 1}\frac 1n z^n & \ln \frac 1{1-z}
\\
\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}nz^n & \ln (1+z)
\\
\sum_{n\ge 0}\frac 1{n!}z^n & \exp z
\\
\hline
\end{array}
\]
\[G(z)+G(-z) = \sum_ng_n(1+(-1)^n)z^n = 2\sum_n[n 是偶數]g_nz^n
\]
類似地，也可以只取奇數， 這對任意生成函數都可以使用。