貝爾數--ex
定義貝爾數 wn， 表示把 n 個有區別的球放到若干個無區別的盒子裏的方案數， 也就是把集合 {1,...,n} 劃分成若干 （1 ... n） 個不相交非空子集的方案數。
遞推式， 考慮枚舉 1 所在的子集的大小， 即：
\[\begin{align}
w_n &= \sum_{i=1}^n \binom{n-1}{i-1}w_{n-i} + [n = 0]
\\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \binom{n-1}{i}w_{(n-1)-i} + [n = 0]
\end{align}
\]
等號右邊就是 {wn} 和 {1} 二項卷積的第 n - 1 項加個 [n = 0] 的東西，設 W(z) 爲 {wn} 的 EGF， 那麼有：
\[\begin{align}
W(z) &= 1 + e^zW(z).shift.right
\\
&= 1 + \int e^zW(z){\rm d}z
\end{align}
\]
兩邊求導：
\[\begin{align}
W'(z) &= e^zW(z)
\\
\frac{W'(z)}{W(z)} &= e^z
\end{align}
\]
左邊那個顯然就是 \(\ln'(W(z))W'(z) = (\ln W(z))'\)
於是兩邊不定積分：
\[\ln W(z) = C + e^z
\]
對於常數 C， 可以在上式帶入 z = 0， 得到 0 = C + 1， 即 C = -1。
於是有：
\[\ln W(z) = e^z - 1
\\
W(z) = e^{e^z - 1}
\]
組合意義：\(A(z) = e^z - 1\)， 即非空子集的 EGF，
\[e^{A(z)} = \sum_{i = 0} \frac 1{i!} A(z)^i
\]
再次考慮二項卷積的意義， 兩個方案數相乘， 再乘個組合數……
\(\dbinom ni a_i*b_{n-i}\)， 稍稍翻譯一下就是把 n 個標號選出 i 個分給 a， 再把剩下的分給 b， 然後剩下的就是拼接了。這是有標號對象的拼接。對象是序列的時候，還帶有混合的意義。
那麼 A(z)i 就是 i 個非空子集的有序拼接，順便把標號（在這裏是元素）分配完了， 要變成無序拼接就乘個 \(\dfrac 1{i!}\)。
於是答案的 EGF 就是 \(e^{A(z)}\)。