如果讓你數一下一棵普通二叉樹有多少個節點，這很簡單，只要在二叉樹的遍歷框架上加一點代碼就行了。
但是，如果給你一棵完全二叉樹，讓你計算它的節點個數，你會不會？算法的時間複雜度是多少？這個算法的時間複雜度應該是 O(logN*logN)，如果你心中的算法沒有達到高效，那麼本文就是給你寫的。
首先要明確一下兩個關於二叉樹的名詞「完全二叉樹」和「滿二叉樹」。
我們說的完全二叉樹如下圖，每一層都是緊湊靠左排列的：
我們說的滿二叉樹如下圖，是一種特殊的完全二叉樹，每層都是是滿的，像一個穩定的三角形：
說句題外話，關於這兩個定義，中文語境和英文語境似乎有點區別，我們說的完全二叉樹對應英文 Complete Binary Tree，沒有問題。但是我們說的滿二叉樹對應英文 Perfect Binary Tree，而英文中的 Full Binary Tree 是指一棵二叉樹的所有節點要麼沒有孩子節點，要麼有兩個孩子節點。如下：
以上定義出自 wikipedia，這裏就是順便一提，其實名詞叫什麼都無所謂，重要的是算法操作。本文就按我們中文的語境，記住「滿二叉樹」和「完全二叉樹」的區別，等會會用到。
一、思路分析
現在迴歸正題，如何求一棵完全二叉樹的節點個數呢？
// 輸入一棵完全二叉樹，返回節點總數
int countNodes(TreeNode root);如果是一個普通二叉樹，顯然只要向下面這樣遍歷一邊即可，時間複雜度 O(N)：
public int countNodes(TreeNode root) {
if (root == null) return 0;
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}那如果是一棵滿二叉樹，節點總數就和樹的高度呈指數關係：
public int countNodes(TreeNode root) {
int h = 0;
// 計算樹的高度
while (root != null) {
root = root.left;
h++;
}
// 節點總數就是 2^h - 1
return (int)Math.pow(2, h) - 1;
}完全二叉樹比普通二叉樹特殊，但又沒有滿二叉樹那麼特殊，計算它的節點總數，可以說是普通二叉樹和完全二叉樹的結合版，先看代碼：
public int countNodes(TreeNode root) {
TreeNode l = root, r = root;
// 記錄左、右子樹的高度
int hl = 0, hr = 0;
while (l != null) {
l = l.left;
hl++;
}
while (r != null) {
r = r.right;
hr++;
}
// 如果左右子樹的高度相同，則是一棵滿二叉樹
if (hl == hr) {
return (int)Math.pow(2, hl) - 1;
}
// 如果左右高度不同，則按照普通二叉樹的邏輯計算
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}結合剛纔針對滿二叉樹和普通二叉樹的算法，上面這段代碼應該不難理解，就是一個結合版，但是其中降低時間複雜度的技巧是非常微妙的。
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二、複雜度分析
開頭說了，這個算法的時間複雜度是 O(logN*logN)，這是怎麼算出來的呢？
直覺感覺好像最壞情況下是 O(N*logN) 吧，因爲之前的 while 需要 logN 的時間，最後要 O(N) 的時間向左右子樹遞歸：
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);關鍵點在於，這兩個遞歸只有一個會真的遞歸下去，另一個一定會觸發 hl == hr 而立即返回，不會遞歸下去。
爲什麼呢？原因如下：
一棵完全二叉樹的兩棵子樹，至少有一棵是滿二叉樹：
看圖就明顯了吧，由於完全二叉樹的性質，其子樹一定有一棵是滿的，所以一定會觸發 hl == hr，只消耗 O(logN) 的複雜度而不會繼續遞歸。
綜上，算法的遞歸深度就是樹的高度 O(logN)，每次遞歸所花費的時間就是 while 循環，需要 O(logN)，所以總體的時間複雜度是 O(logN*logN)。
所以說，「完全二叉樹」這個概念還是有它存在的原因的，不僅適用於數組實現二叉堆，而且連計算節點總數這種看起來簡單的操作都有高效的算法實現。