前言
在正文開始前，我們先來了解一下有向無環圖(Directed Acyclic Graph簡稱DAG)
如下圖就是一個DAG圖，DAG圖是我們討論拓撲排序的基礎。
AOV網：數據在頂點 可以理解爲面向對象 AOE網：數據在邊上，可以理解爲面向過程！
1. 什麼是拓撲排序
拓撲排序（Topological Order），很多人聽說過，但是不瞭解的一種算法。或許很多人只知道它是圖論的一種排序，至於幹什麼的不清楚。又或許很多人可能還會認爲它是一種啥排序。
而實質上它只是將DAG圖的頂點排成一個線性序列，得到一個頂點的全序集合。其排序的順序依據就是節點的指向關係。比如前言的DAG圖：
- ...
- 節點5在節點4和節點3的後面
- 節點9在節點6和節點7的後面
- ...
那麼最後得到的節點的線性序列結果,也一定要滿足上面的指向順序。
每一個節點都擁有入度（有多少點導向它，也就是開始它有多少前提）和出度（它導向多少點，也就是它是多少其他節點開始的前提）。例如節點5的入度爲3和4，出度爲7。
拓撲排序的結果不是唯一的，只要符合上面的條件，那麼它就是拓撲序列，比如1 2 4 3 6 5 7 9和2 1 3 4 5 6 7 9，這兩個結果都是可行的。
官方一點的定義：將有向圖中的節點以線性方式進行排序。即對於任何連接自節點u到節點v的有向邊uv，在最後的排序結果中，節點u總是在節點v的前面。
2. 現實案例
看了上面關於拓撲排序的概念如果還覺得十分抽象的話，那麼不妨考慮一個非常非常經典的例子——選課。
假設我非常想學習一門《jsp入門》的課程，但是在修這麼課程之前，我們必須要學習一些基礎課程，比如《JAVA語言程序設計》，《HTML指南》等等。那麼這個制定選修課程順序的過程，實際上就是一個拓撲排序的過程，每門課程相當於有向圖中的一個頂點，而連接頂點之間的有向邊就是課程學習的先後關係。
只不過這個過程不是那麼複雜，從而很自然的在我們的大腦中完成了。將這個過程以算法的形式描述出來的結果，就是拓撲排序。
可以看到，上圖中的學習順序，就是拓撲序列，其不止一個結果。
拓撲排序算法在工程學中十分重要。
節點成環的圖，無法被拓撲排序，因爲這在工程上本身沒有意義，比如A——>B——>C——>A，那麼這個工程永遠無法被開始。
3. 算法實現
拓撲排序的最優時間複雜度是O(m+n),其中m和n是DAG圖中節點數和邊數。因爲拓撲排序至少要對DAG圖的節點和邊進行一次完整的遍歷。
拓撲排序的最優空間複雜度是O(m+n),其中m和n是DAG圖中節點數和邊數。我們一般使用鄰接表來存儲DAG圖，因此空間複雜度是O(m+n)。
3.1 廣度優先搜索法（BFS）
3.1.1 BFS實現拓撲排序
廣度優先搜索法的思路很簡單：
- 從DAG圖中找到入度爲0的節點A（也就是沒有箭頭指向它的節點），將其放入拓撲序列的結果集。
- 同時刪除由節點A出發的所有邊。
- 在剩下的DAG圖中重複1-2兩步。
- 如果最後可以把全部的節點都刪除並加入到結果集，那表示DAG圖可以被拓撲排序；否則，如果最後有節點被剩下，那說明該圖是有環圖，無法被拓撲排序。
如下圖
3.1.2 BFS實現拓撲排序的優化
如果有時候，我們只需要知道某個DAG圖是否可以拓撲排序，而不需要真正得到拓撲排序後的結果，那麼可以不需要結果集列表，只需要統計被刪除的節點的數量即可，如果該數量等於DAG圖的節點數，那麼DAG圖可以被拓撲排序。
3.2 深度優先搜索法（DFS）
3.2.1 DFS實現拓撲排序
深度優先搜索法是廣度優先搜索法的逆向思路，它的步驟如下：
- 選取圖中任意一個節點A，將其狀態標記爲“搜索中”
- 尋找節點A的鄰接點（沿着箭頭指向尋找相鄰的節點）
- 如果A存在鄰接點
- 如果A的鄰接點中存在狀態爲“搜索中”的鄰接點，那麼表示DAG圖有環路，不可拓撲排序。
- 否則，那麼任意選擇一個狀態爲“未搜索”的鄰接點B，使用遞歸對B重複做1和2操作，注意此時B的鄰接點判斷不包含來路（也就是A節點）。等到A的所有鄰接點都被搜索到，遞歸回溯回A節點的時候，那麼A節點也會被標記爲“已搜索”，並壓入結果棧。
- 如果A不存在鄰接點，那麼將節點A的狀態改爲“已完成”，並且將其壓入一個結果集的棧中。
- 如果A存在鄰接點
- A節點及其相鄰節點都搜索完畢後，如果還有未搜索的節點，那麼任意選取一個節點當做出發點，繼續重複1,2,3步驟。
- 直到所有的節點都被搜索並壓入棧，那麼此時結果棧中，從棧頂到棧底的順序，就是拓撲排序的順序。
3.2.2 DFS實現拓撲排序的優化
如果有時候，我們只需要知道某個DAG圖是否可以拓撲排序，而不需要真正得到拓撲排序後的結果，那麼可以不需要結果棧，只需要判斷整個深度優先搜索過程，沒有發生“搜索中”節點的相鄰節點（不包含來路的節點）也是“搜索中”就行。