-----------我最近在 LeetCode 上做到兩道非常有意思的題目，382 和 398 題，關於水塘抽樣算法（Reservoir Sampling），本質上是一種隨機概率算法，解法應該說會者不難，難者不會。
我第一次見到這個算法問題是谷歌的一道算法題：給你一個未知長度的鏈表，請你設計一個算法，只能遍歷一次，隨機地返回鏈表中的一個節點。
這裏說的隨機是均勻隨機（uniform random），也就是說，如果有 n 個元素，每個元素被選中的概率都是 1/n，不可以有統計意義上的偏差。
一般的想法就是，我先遍歷一遍鏈表，得到鏈表的總長度 n，再生成一個 [1,n] 之間的隨機數爲索引，然後找到索引對應的節點，不就是一個隨機的節點了嗎？
但題目說了，只能遍歷一次，意味着這種思路不可行。題目還可以再泛化，給一個未知長度的序列，如何在其中隨機地選擇 k 個元素？想要解決這個問題，就需要著名的水塘抽樣算法了。
PS：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，全部發布在labuladong的算法小抄，持續更新。建議收藏，按照我的文章順序刷題，掌握各種算法套路後投再入題海就如魚得水了。
算法實現
先解決只抽取一個元素的問題，這個問題的難點在於，隨機選擇是「動態」的，比如說你現在你有 5 個元素，你已經隨機選取了其中的某個元素 a 作爲結果，但是現在再給你一個新元素 b，你應該留着 a 還是將 b 作爲結果呢，以什麼邏輯選擇 a 和 b 呢，怎麼證明你的選擇方法在概率上是公平的呢？
先說結論，當你遇到第 i 個元素時，應該有 1/i 的概率選擇該元素，1 - 1/i 的概率保持原有的選擇。看代碼容易理解這個思路：
/* 返回鏈表中一個隨機節點的值 */
int getRandom(ListNode head) {
Random r = new Random();
int i = 0, res = 0;
ListNode p = head;
// while 循環遍歷鏈表
while (p != null) {
// 生成一個 [0, i) 之間的整數
// 這個整數等於 0 的概率就是 1/i
if (r.nextInt(++i) == 0) {
res = p.val;
}
p = p.next;
}
return res;
}對於概率算法，代碼往往都是很淺顯的，但是這種問題的關鍵在於證明，你的算法爲什麼是對的？爲什麼每次以 1/i 的概率更新結果就可以保證結果是平均隨機（uniform random）？
證明：假設總共有 n 個元素，我們要的隨機性無非就是每個元素被選擇的概率都是 1/n 對吧，那麼對於第 i 個元素，它被選擇的概率就是：
第 i 個元素被選擇的概率是 1/i，第 i+1 次不被替換的概率是 1 - 1/(i+1)，以此類推，相乘就是第 i 個元素最終被選中的概率，就是 1/n。
因此，該算法的邏輯是正確的。
同理，如果要隨機選擇 k 個數，只要在第 i 個元素處以 k/i 的概率選擇該元素，以 1 - k/i的概率保持原有選擇即可。代碼如下：
/* 返回鏈表中 k 個隨機節點的值 */
int[] getRandom(ListNode head, int k) {
Random r = new Random();
int[] res = new int[k];
ListNode p = head;
// 前 k 個元素先默認選上
for (int j = 0; j < k && p != null; j++) {
res[j] = p.val;
p = p.next;
}
int i = k;
// while 循環遍歷鏈表
while (p != null) {
// 生成一個 [0, i) 之間的整數
int j = r.nextInt(++i);
// 這個整數小於 k 的概率就是 k/i
if (j < k) {
res[j] = p.val;
}
p = p.next;
}
return res;
}對於數學證明，和上面區別不大：
因爲雖然每次更新選擇的概率增大了 k 倍，但是選到具體第 i 個元素的概率還是要乘 1/k，也就回到了上一個推導。
PS：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，全部發布在labuladong的算法小抄，持續更新。建議收藏，按照我的文章順序刷題，掌握各種算法套路後投再入題海就如魚得水了。
拓展延伸
以上的抽樣算法時間複雜度是 O(n)，但不是最優的方法，更優化的算法基於幾何分佈（geometric distribution），時間複雜度爲 O(k + klog(n/k))。由於涉及的數學知識比較多，這裏就不列出了，有興趣的讀者可以自行搜索一下。
還有一種思路是基於「Fisher–Yates 洗牌算法」的。隨機抽取 k 個元素，等價於對所有元素洗牌，然後選取前 k 個。只不過，洗牌算法需要對元素的隨機訪問，所以只能對數組這類支持隨機存儲的數據結構有效。
另外有一種思路也比較有啓發意義：給每一個元素關聯一個隨機數，然後把每個元素插入一個容量爲 k 的二叉堆（優先級隊列）按照配對的隨機數進行排序，最後剩下的 k 個元素也是隨機的。
這個方案看起來似乎有點多此一舉，因爲插入二叉堆需要 O(logk) 的時間複雜度，所以整個抽樣算法就需要 O(nlogk) 的複雜度，還不如我們最開始的算法。但是，這種思路可以指導我們解決加權隨機抽樣算法，權重越高，被隨機選中的概率相應增大，這種情況在現實生活中是很常見的，比如你不往遊戲裏充錢，就永遠抽不到皮膚。
最後，我想說隨機算法雖然不多，但其實很有技巧的，讀者不妨思考兩個常見且看起來很簡單的問題：
1、如何對帶有權重的樣本進行加權隨機抽取？比如給你一個數組 w，每個元素 w[i] 代表權重，請你寫一個算法，按照權重隨機抽取索引。比如 w = [1,99]，算法抽到索引 0 的概率是 1%，抽到索引 1 的概率是 99%。
2、實現一個生成器類，構造函數傳入一個很長的數組，請你實現 randomGet 方法，每次調用隨機返回數組中的一個元素，多次調用不能重複返回相同索引的元素。要求不能對該數組進行任何形式的修改，且操作的時間複雜度是 O(1)。