來源：遇見數學
距離2021年高考還有不到兩百天，當無數高中生還在爲千軍萬馬過獨木橋兒緊鑼密鼓準備之時，有部分初中生卻已經一隻腳踏入了清華大學的校門。
2020年的最後一天，清華大學發佈官方通知，將啓動“丘成桐數學科學領軍人才培養計劃”，初三學生就可申請，有機會直接走上本碩博連讀的“學霸道路”。
在大部分同學還在爲一次、二次函數頭疼的時候，杭州已經有會微積分的初中生報名了。
“微積分”，聽起來是大學生纔會接觸到的三個字，儼然成了判斷超前學霸的指標。它究竟有多難？
先彆着急皺眉頭，其實早在我們小學二年級的時候（甚至可能更早），就已經見識過微積分了，而且我們身邊許多看似理所應當工具，全都要拜它所賜。
無窮之“罪”
相信每一位小學數學老師都曾這樣提醒過剛學習除法的我們：0一定不可以作爲除數，因爲沒有數乘以零會得出非零數。我們從此將其奉爲圭臬。
可另外一種有意思的情況：在實無窮條件下，如果一個無限接近0的數被累計無窮次，結果可以等於任何數。
微積分，便是把複雜的問題分解爲無窮個小問題（微分），再將它們組合在一起（積分）。組合多少次呢？無窮次。
“無窮”是一個奇妙的封印。數學家史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz）在著作《微積分的力量》中將無窮稱作“被通靈術召喚的靈魂”，這可不是恭維。例如，如果一段很短的線段被分爲實無窮段，則每一段的長度爲0。亞里士多德認爲這會招致謬論，所以，他不允許在數學和哲學中使用實無窮，只能使用潛無窮。在接下來的2200年裏，他的這條“法令”得到了數學家的支持。
在史前時期的黑暗角落裏，有人意識到數字是無盡的。伴隨着這樣的想法，無窮誕生了，它是我們心靈深處、無底噩夢和永生願望中的某些東西的數字對應物。無窮也是我們的很多夢想、恐懼和未解之謎的核心：宇宙有多大？永遠是多久？上帝有多強大？幾千年來，在人類思想的每一個分支，從宗教、哲學、科學到數學，無窮一直困擾着世界上最優秀的大腦，始終被視爲一個危險的概念。
而正如《微積分的力量》的引文原書名Infinite Powers（可直譯爲“無窮的力量”）所暗示的，無窮擁有力量，但只有在被“馴化”後才能夠發揮它驚人而奇妙的能量，這種“馴化”實則是一場壯麗的天才接力。在書中，斯托加茨本人成了一位優雅從容的引路者，將天才們的生命之鏈徐徐展開。
“我們之後的世代”
如何用素描技法畫出一個圓？首先要畫一個方形，再將它一步步切成多邊形，邊越多，看起來越像一個完美的圓。
阿基米德運用了類似的思路計算圓周率。但圓並不是由直線組成的，而是由彎曲的弧組成的。當我們用直線來代替每一段弧時，就相當於走了點兒捷徑。因此，近似值肯定小於圓形路徑的實際長度。但至少在理論上，通過走足夠多的步數，並且每一步的步長足夠短，我們就可以儘可能精確地估算出圓形路徑的長度。
阿基米德從由6條線組成的路徑開始，6是一個非常小的步數，六邊形顯然也不太像一個圓，但對阿基米德來說一切纔剛開始。當從六邊形中得出結論之後，他縮短了步長，並將步數翻倍。他的做法是，繞路到每段弧的中點處，用兩小步取代之前的橫跨弧的一大步。
之後他不斷重複這一做法。從6步到12 步，24 步、48 步、96 步，並以令人頭痛不已的精密度算出了這些不斷縮小的步長。
阿基米德徒步切圓示意圖
（圖源《微積分的力量》：駕馭無窮的勇士）
無論是在邏輯上還是在算術上，阿基米德計算π值的行爲都堪稱壯舉。藉助圓內接96邊形和圓外接96邊形，他最終證明π大於3 + 10/71 而小於3 + 10/70。
人們崇拜阿基米德，是因爲他在自己的論著中做了鮮有天才會做的事情：邀請我們參與其中，向我們展示他是如何思考的。他冒着受到攻擊的風險，分享了自己的直覺，希望未來的數學家也能夠用它去解決他不理解的問題。今天，這個祕訣被稱爲阿基米德方法。
阿基米德方法複寫本
（圖源：top.zhan.com）
阿基米德坦承，儘管他的方法“並沒有真正證明”他感興趣的結果，但他提出了自己的希望：
“在現在和未來的幾個世代中，某些人會利用這種方法，找到我們尚未掌握的其他定理。”
這位無與倫比的天才在數學的無限性面前感到了自己生命的有限性，他認識到還有很多事情要做。所有數學家都有這樣的感覺，我們的研究課題永無止境，就連阿基米德本人也要俯首稱臣。
阿基米德的遺產直到今天仍然熠熠生輝。《玩具總動員》中的角色之所以看起來栩栩如生，部分原因在於它們體現了阿基米德的一個洞見：任何平滑表面都可以令人信服地用三角形來逼近。我們使用的三角形越小和越多，逼近效果就越好。這一思路一直持續到製作《心靈奇旅》的今天。
阿基米德之後1800年，伽利略和開普勒將目光望向宇宙，如果沒有他們，我們或許還不知全球定位系統和航天器爲何物。微積分故事中的關鍵時刻出現在17世紀中葉，曲線之謎、運動之謎和變化之謎在二維網格——費馬和笛卡兒的xy平面——上發生了碰撞。我們今天已經對他們創造出的座標軸習以爲常了。
開普勒的天體運行模型
（《微積分的力量》：運動定律的探索之旅）
到了下一代，在費馬、笛卡兒、伽利略和開普勒的研究成果的基礎之上，英國的牛頓和德國的萊布尼茨徹底改變了數學的進程。他們把關於運動和曲線的思想鬆散地拼湊在一起，創立了微積分。
1673年，當萊布尼茨引入“微積分”一詞時，他的原話是“a calculus”（一個微積分），有時還會更親切地稱它爲“my calculus”（我的微積分）。遺憾的是，現在它的冠詞和所有格全都消失了，只剩下單調蒼白的“calculus”。
撇開冠詞不談，calculus這個詞本身就有很多故事。它源自拉丁詞根calx，意指一塊小石頭，醫生也會用這個詞來指代結石。諷刺的是，牛頓和萊布尼茨這兩位微積分先驅都死於給他們造成極大痛苦的結石：牛頓患有膀胱結石，而萊布尼茨患有腎結石。
牛頓和萊布尼茨通過兩條不同的途徑各自得出了微積分基本定理。牛頓的方法是思考運動與流動問題，也就是數學連續性的一面。而萊布尼茨的方法正相反，儘管他是一個未受過正規訓練的數學家，但他年輕時花了些時間思考離散數學問題，比如整數與計數、組合與排列，以及分數與特定類型的和。
比如，經典的惠更斯謎題：
如果你看不出其中的技巧，它就是一個冗長而直接的計算過程。只要有足夠的耐心（或者一臺計算機），我們就可以逐一地加總這99項。而萊布尼茨的簡潔解法很快就指引他得出了自己的核心定理。
假設一個人正在爬一段很長且不太規則的樓梯。如果攀登者想測量從樓梯底部到頂部的垂直高度，他如何才能做到呢？把每個臺階的垂直高度全部加起來，這種毫無創意的方法和前文中提到的把99項逐一加起來求S的做法是一樣的。這樣做雖然沒什麼問題，但因爲樓梯太不規則了，所以算起來會很麻煩。
更好的方法就是使用高度計。如果圖中的攀登者有一個高度計，他就可以用樓梯頂部的高度減去樓梯底部的高度來解決這個問題，不管樓梯有多麼不規則，這個方法都行之有效。
我們要把這個算式的每一項都改寫成兩個數字之差的形式，這就好比每個臺階的垂直高度等於它的頂部高度減去底部高度。第一個“臺階”可改寫爲：
同樣地，我們可以把S中的其他項都改寫成連續單位分數之差的形式：
當我們把所有這些連續單位分數之差加總時，S 就會變爲：
所以，結果是：
萊布尼茨意識到，他可以用同樣的技巧計算任意多項分數的和。如果求和算式包含N項而不是99項，那麼結果將是：
這樣一來，惠更斯的無窮級數求和問題的答案就變得很清楚了：當N趨於無窮時，1/(N + 1)會趨於0，S則會趨於1。所以，極限值1就是惠更斯謎題的答案。
這一切就是萊布尼茨版本的反向問題和微積分基本定理。正如他說的那樣，“求圖形面積的運算過程可以簡化爲：已知一個級數，去求和；或者已知一個級數，去找另一個級數，後者的連續數之差與前者的各項一致。”就這樣，差與伸縮和引導萊布尼茨創立了微分和積分，並得出了基本定理，正如流數術與擴張的面積引領牛頓到達同一個隱祕源泉一樣。
思維的虛構產物
儘管微分是思維的虛構產物，但自從萊布尼茨發明微分以來，它們就以非虛構的方式深刻地影響着我們的世界、社會和生活。
通常情況下，微積分都是在我們日常生活的背後默默地發揮着作用。就GPS而言，這個系統的幾乎所有功能都取決於微積分。
想想衛星和接收器之間的無線通信，通過麥克斯韋所做的研究，微積分預言了電磁波的存在，從而使無線通信成爲可能。所以，沒有微積分，就不會有無線通信和GPS。同樣地，GPS衛星上的原子鐘利用的是銫原子的量子力學振動，而微積分是量子力學方程及其求解方法的基礎。所以，沒有微積分，就不會有原子鐘。
微積分還是計算衛星軌道和控制衛星位置的數學方法的基礎，當原子鍾高速運動或在弱引力場中運動時，微積分也是把愛因斯坦的相對論改正與原子鐘時間結合在一起的數學方法的基礎，但我希望把重點說清楚。微積分爲很多使GPS成爲可能的技術研發創造了條件，當然，微積分並不能獨立做到這一切。儘管它是一個配角，卻是一個重要的配角。和電氣工程學、量子物理學、航空航天工程學等學科一樣，微積分也是這個團隊中不可或缺的一部分。
微積分是用於研究任何事物的想法與方法的龐雜集合，這些事物的變化平穩而連續，符合無窮原則。該定義的範疇囊括了牛-萊的微積分理論及其子孫後代：多變量微積分，常微分方程，偏微分方程，傅里葉分析，複分析，以及高等數學中涉及極限、導數和積分的所有其他分支。
由此可見，微積分還沒有完結，它和以前一樣求知若渴。從阿基米德後的世代，到我們之後的世代，走向無窮。
理查德·費曼說過:“你最好學學微積分，它是上帝的語言。”
如果有什麼東西稱得上宇宙的奧祕，那麼非微積分莫屬。微積分是人類歷史上的偉大思想成就之一，也是數學領域不可或缺的一個重要分支。除此之外，我們更應該關注的事實是：如果沒有微積分，人類就不可能發明電視、微波爐、移動電話、GPS、激光視力矯正手術、孕婦超聲檢查，也不可能發現冥王星、破解人類基因組、治療艾滋病，以及弄明白如何把5 000首歌曲裝進口袋裏。
我們存在的方式，都是拜微積分所賜。
未來智能實驗室的主要工作包括：建立AI智能系統智商評測體系，開展世界人工智能智商評測；開展互聯網（城市）雲腦研究計劃，構建互聯網（城市）雲腦技術和企業圖譜，爲提升企業，行業與城市的智能水平服務。
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