今天是小浩算法 “365刷題計劃” 第 109 天。繼續爲大家講解 leetcode 第 60 題，是一道中等難度的題目。
排列類別的問題主要就兩個，一個是全排列：
另一個就是本題（兩個題在劍指offer都出現了）：
01
PART
第K個排列
題目比較繞，耐心點還是可以看懂的~加油！
題目：給出集合 [1,2,3,…,n]，其所有元素共有 n! 種排列。
按大小順序列出所有排列情況，並一一標記，當 n = 3 時, 所有排列如下：
"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"
給定 n 和 k，返回第 k 個排列。
說明：
給定 n 的範圍是 [1, 9]。
給定 k 的範圍是[1, n!]。
給出兩個示例：
示例 1:
輸入: n = 3, k = 3 輸出: "213"
示例 2:
輸入: n = 4, k = 9 輸出: "2314"
02
PART
題解分析
這道題目的標籤標的數學和回溯算法，所以我們分別用數學和回溯的方法來解題。
從數學方法說起，先講一下康託展開。
那康託展開是幹嘛的？用來計算當前排列在所有由小到大全排列中的順序。臥槽，不就是本題嗎。
聽不懂？就是說如果你知道 1234 是序號 1，1243 是 序號2，這個公式就可以直接告訴你 4132 的序號是多少！
公式是這樣的：
解釋一哈：
這個 X 就是最終的序號值，比實際序號少一位，因爲可以看到康託展開第一位計算的值是 0 。
網上看到的很多圖可能名次是從 1 開始，這個大家注意一下就行：
關鍵是這個 
，這個其實就是看原數的第 i 位在當前未出現的元素中是排在第幾個。
感覺這句話有點拗口，用上面出現的問題解釋一下：1234 是序號 1，1243 是 序號 2， 4132 的序號是多少？
解釋：第一個數是 4，比 4 小的並且還沒有出現過的數有 3 個（123），第二個數是 1，比 1 小的並且還沒有出現過的數爲 0 個。第三個數是 3，比 3 小的並且還沒有出現過的數爲 1。第四個數是 2 ，比 2 小的並且還沒有出現過的數爲 0 個。
有 X = 33！+ 02！+ 11！+ 00！= 19，此時的序號爲 19+1 = 20。還不明白的看下下面這個圖：
然後我們把上面的東西反着來，就叫做 逆康託展開。換句話說，就是給我們了 X 的值，讓我們求 。
對於 逆康託展開，我還是給一個例子。比如 nums 還是 1234，我們要找第 15 位。那麼要進行以下幾步：
-
首先，因爲 X 比實際序號少一位，所以我們要用實際序號減1，也就是 15 - 1 = 14。
-
目標值的第一個字符，14 / 3! = 2 ... 2 (商2餘2)，沒有已使用的字符，第一個字符取在未使用的字符中排增序第3。即3
-
目標值的第二個字符，2 / 2! = 1 ... 0，已使用的字符爲3，第二個字符取在未使用的字符中增序排第2。即2
-
目標值的第三個字符，0 / 1! = 0 ... 0，已使用的字符爲2和3，第三個字符取在未使用的字符中增序排第1。即1
-
目標值的第三個字符，0 / 0! = 0 ... 0，已使用的字符爲1，2和3，第四個字符取在未使用的字符中增序排第1。即4
-
那麼要求的這個序列爲：3214。
- 可以查下上面的表，發現是正確的。如果看不懂，可以回到上面的例子再看看，其實就是把上面過程倒着來。
最後，我們再將逆康託展開進行應用：
//JAVA
class Solution {
public String getPermutation(int n, int k) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
// 候選數字
List<Integer> candidates = new ArrayList<>();
// 分母的階乘數
int[] factorials = new int[n+1];
factorials[0] = 1;
int fact = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
candidates.add(i);
fact *= i;
factorials[i] = fact;
}
//預處理
k -= 1;
for(int i = n-1; i >= 0; --i) {
// 計算候選數字的index
int index = k / factorials[i];
sb.append(candidates.remove(index));
k -= index*factorials[i];
}
return sb.toString();
}
}
03
PART
相似題目
說是相似題目，但是其實下面兩個題目我都是用回溯來求解的啦。算是通用解法吧~大家有興趣也可以用回溯來解下本題。
我把我寫的所有題解都整理成了一本電子書，每道題都配有完整圖解。