最大子數組問題和前文講過的 經典動態規劃：最長遞增子序列 的套路非常相似，代表着一類比較特殊的動態規劃問題的思路：
思路分析
其實第一次看到這道題，我首先想到的是滑動窗口算法，因爲我們前文說過嘛，滑動窗口算法就是專門處理子串/子數組問題的，這裏不就是子數組問題麼？
但是，稍加分析就發現，這道題還不能用滑動窗口算法，因爲數組中的數字可以是負數。
滑動窗口算法無非就是雙指針形成的窗口掃描整個數組/子串，但關鍵是，你得清楚地知道什麼時候應該移動右側指針來擴大窗口，什麼時候移動左側指針來減小窗口。
而對於這道題目，你想想，當窗口擴大的時候可能遇到負數，窗口中的值也就可能增加也可能減少，這種情況下不知道什麼時機去收縮左側窗口，也就無法求出「最大子數組和」。
解決這個問題需要動態規劃技巧，但是dp數組的定義比較特殊。按照我們常規的動態規劃思路，一般是這樣定義dp數組：
nums[0..i]中的「最大的子數組和」爲dp[i]。
如果這樣定義的話，整個nums數組的「最大子數組和」就是dp[n-1]。如何找狀態轉移方程呢？按照數學歸納法，假設我們知道了dp[i-1]，如何推導出dp[i]呢？
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如下圖，按照我們剛纔對dp數組的定義，dp[i] = 5，也就是等於nums[0..i]中的最大子數組和：
那麼在上圖這種情況中，利用數學歸納法，你能用dp[i]推出dp[i+1]嗎？
實際上是不行的，因爲子數組一定是連續的，按照我們當前dp數組定義，並不能保證nums[0..i]中的最大子數組與nums[i+1]是相鄰的，也就沒辦法從dp[i]推導出dp[i+1]。
所以說我們這樣定義dp數組是不正確的，無法得到合適的狀態轉移方程。對於這類子數組問題，我們就要重新定義dp數組的含義：
以nums[i]爲結尾的「最大子數組和」爲dp[i]。
這種定義之下，想得到整個nums數組的「最大子數組和」，不能直接返回dp[n-1]，而需要遍歷整個dp數組：
int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;依然使用數學歸納法來找狀態轉移關係：假設我們已經算出了dp[i-1]，如何推導出dp[i]呢？
可以做到，dp[i]有兩種「選擇」，要麼與前面的相鄰子數組連接，形成一個和更大的子數組；要麼不與前面的子數組連接，自成一派，自己作爲一個子數組。
如何選擇？既然要求「最大子數組和」，當然選擇結果更大的那個啦：
// 要麼自成一派，要麼和前面的子數組合並
dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);綜上，我們已經寫出了狀態轉移方程，就可以直接寫出解法了：
int maxSubArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
if (n == 0) return 0;
int[] dp = new int[n];
// base case
// 第一個元素前面沒有子數組
dp[0] = nums[0];
// 狀態轉移方程
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
}
// 得到 nums 的最大子數組
int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
}以上解法時間複雜度是 O(N)，空間複雜度也是 O(N)，較暴力解法已經很優秀了，不過注意到dp[i]僅僅和dp[i-1]的狀態有關，那麼我們可以進行「狀態壓縮」，將空間複雜度降低：
int maxSubArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
if (n == 0) return 0;
// base case
int dp_0 = nums[0];
int dp_1 = 0, res = dp_0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
// dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i-1])
dp_1 = Math.max(nums[i], nums[i] + dp_0);
dp_0 = dp_1;
// 順便計算最大的結果
res = Math.max(res, dp_1);
}
return res;
}最後總結
雖然說動態規劃推狀態轉移方程確實比較玄學，但大部分還是有些規律可循的。
今天這道「最大子數組和」就和「最長遞增子序列」非常類似，dp數組的定義是「以nums[i]爲結尾的最大子數組和/最長遞增子序列爲dp[i]」。因爲只有這樣定義才能將dp[i+1]和dp[i]建立起聯繫，利用數學歸納法寫出x狀態轉移方程。
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