二項式求導

( x + 1 ) n = ∑ k = 0 n x k ( n k ) (x+1)^n = \sum_{k=0}^n x^k {n\choose{k}} (x+1)n=k=0∑n​xk(kn​)

對左右同時求導，把組合數看作係數，其中 ( x + 1 ) (x+1) (x+1) 直接保留即可。

n ( x + 1 ) n − 1 = ∑ k = 0 n k x k − 1 ( n k ) n(x+1)^{n-1} = \sum_{k=0}^n kx^{k-1} {n \choose k} n(x+1)n−1=k=0∑n​kxk−1(kn​)

現在 k k k 的指數還是 1 1 1，兩邊同時再次求導，需要用到導函數的乘法法則

[ f ( x ) g ( x ) ] ′ = f ( x ) g ( x ) ′ + f ( x ) ′ g ( x ) [f(x)g(x)]'=f(x)g(x)'+f(x)'g(x) [f(x)g(x)]′=f(x)g(x)′+f(x)′g(x)

n ( ( 1 + x ) n − 1 + ( n − 1 ) x ( 1 + x ) n − 2 ) = ∑ k = 0 n k 2 ( n k ) x k − 1 n((1+x)^{n-1}+(n-1)x(1+x)^{n-2}) = \sum_{k=0}^nk^2 {n \choose k} x^{k-1} n((1+x)n−1+(n−1)x(1+x)n−2)=k=0∑n​k2(kn​)xk−1

取 x = 1 x=1 x=1，這個是根據係數而定的，如果 x ≠ 1 x\not=1 x​=1，那麼會得到的係數是一個多項式。

∑ k = 1 n k 2 ( n k ) = n ( n + 1 ) 2 n − 2 \sum_{k=1}^n k^2 {n \choose k} = n(n+1)2^{n-2} ∑k=1n​k2(kn​)=n(n+1)2n−2

當然我們可以進行多次求導，這隻會改變 k k k 的指數，其它都不變。