序結構

1. 前言

4. 序結構

定義1(二元關係). 設 X X X是一個集合， R \mathcal{R} R是 X × X X\times X X×X的子集，則稱 R \mathcal{R} R是 X X X的一個二元關係。 R \mathcal{R} R中的元素 ( a , b ) (a,b) (a,b)通常被記爲 a R b a\mathcal{R}b aRb。

當 R \mathcal{R} R是 X X X的對角時
R = Δ X = { ( a , a ) : a ∈ X } \mathcal{R}=\Delta_X=\{(a,a):a\in X\} R=ΔX​={ (a,a):a∈X}
該二元關係被記爲 = = =。

定義2(序關係). 設 X X X是一個集合， R \mathcal{R} R是一個二元關係。當 R \mathcal{R} R滿足性質

• 自反性。即

5. ω 1 \omega_1 ω1​的構造

設 X X X是不可數集合，根據選擇公理， X X X上可以定義一個良序（Well Ordering），也就是滿足如下性質的序：

• 設 A A A是 X X X是非空子集，則 A A A中存在極小元 a a a，即 a ∈ A a\in A a∈A，且對任何 b ∈ A b\in A b∈A，有 a ≤ b a\leq b a≤b。

特別地，上述條件說明 A A A中任何兩個元素都可以比較，即

命題1. 良序一定是線性序。

定義 s e g   a \mathbf{seg}\,a sega爲 X X X中所有小於 a a a的元素構成的集合，即
s e g   a = { x ∈ X : x < a } . \mathbf{seg}\,a=\{x\in X:x<a\}. sega={ x∈X:x<a}.
定義 Y = { y ∈ X : s e g   y 是 不 可 數 的 } Y=\{y\in X:\mathbf{seg}\,y是不可數的\} Y={ y∈X:segy是不可數的}，當 Y Y Y不是空集時，根據良序性，存在 Y Y Y的極小元 y 0 y_0 y0​，此時定義
ω 1 : = s e g   y 0 , \omega_1:=\mathbf{seg}\,y_0, ω1​:=segy0​,
當 Y = ∅ Y=\empty Y=∅時，定義 ω 1 = X \omega_1=X ω1​=X。這樣定義的 ω 1 \omega_1 ω1​被稱爲第一不可數序。

命題2. 如上定義的 ω 1 \omega_1 ω1​具有性質：

• ω 1 \omega_1 ω1​是具有良序的不可數集合。
• 任何 x ∈ ω 1 x\in \omega_1 x∈ω1​， s e g   x \mathbf{seg}\,x segx是可數的。
• 對於序列 { x n } ⊂ ω 1 \{x_n\}\subset \omega_1 { xn​}⊂ω1​，存在 y ∈ ω 1 y\in \omega_1 y∈ω1​使得
  ∪ n s e g   x n = s e g   y \cup_n \mathbf{seg}\,x_n=\mathbf{seg}\,y ∪n​segxn​=segy
  我們記 y = sup ⁡ x n y=\sup x_n y=supxn​.
  
  

我們在 ω 1 \omega_1 ω1​上定義線性序拓撲：一族拓撲基爲如下形式

• ( − ∞ , a ) : = { x ∈ ω 1 : x < a } (-\infty,a):=\{x\in \omega_1:x<a\} (−∞,a):={ x∈ω1​:x<a}.
• ( b , ∞ ) : = { x ∈ ω 1 : x < b } (b,\infty):=\{x\in \omega_1:x<b\} (b,∞):={ x∈ω1​:x<b}.
• ( a , b ) : = { x ∈ ω 1 : a < x < b } (a,b):=\{x\in \omega_1:a<x<b\} (a,b):={ x∈ω1​:a<x<b}.

命題3. 驗證：

• 如上定義確實是一個拓撲基.
• 設序列 { x n } \{x_n\} { xn​}和 { y n } \{y_n\} { yn​}都包含於 ω 1 \omega_1 ω1​中，且 x n ≤ y n ≤ x n + 1 x_n\leq y_n\leq x_{n+1} xn​≤yn​≤xn+1​，則
  sup ⁡ x n = sup ⁡ y n ， lim ⁡ n → ∞ x n = sup ⁡ x n ， lim ⁡ n → ∞ y n = sup ⁡ y n . \sup x_n=\sup y_n，\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\sup x_n，\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=\sup y_n. supxn​=supyn​，n→∞lim​xn​=supxn​，n→∞lim​yn​=supyn​.
  
• R \mathbb{R} R中通常的拓撲就是線性序拓撲.
• 設 A , B A,B A,B爲 ω 1 \omega_1 ω1​中不交的閉子集，則至少其中一個是可數集.
• ω 1 \omega_1 ω1​上的連續實值函數最終是常數，即存在 A ∈ ω 1 A\in \omega_1 A∈ω1​使得任何 x ≥ A x\geq A x≥A，有常數 c c c使得
  f ( x ) = c . f(x)=c. f(x)=c.