前言
上一篇文章簡單提及了高精度加法運算，那麼這次讓我們看看高精度乘法與高精度模板相應的實現吧！
一、高精度乘法
1.分析
回想一下A+B高精的實現，我們從豎式加法中得到啓發，發現了數組實現大數加法的本質，那麼這裏我們不妨從豎式乘法的角度分析，通過下表來觀察其實質。
舉個例子，342*456=155,952，下表是每一位的運算過程。
| 數 | 第5位 | 第4位 | 第3位 | 第2位 | 第1位 | 第0位 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| a | 3 | 4 | 2 | |||
| b | 4 | 5 | 6 | |||
| a*b[0] | 18 | 24 | 12 | |||
| a*b[1] | 15 | 20 | 10 | |||
| a*b[2] | 12 | 16 | 8 | |||
| 加和 | 12 | 31 | 46 | 34 | 12 | |
| 處理進位 | 1 | 5 | 5 | 9 | 5 | 2 |
| 結果 | 1 | 5 | 5 | 9 | 5 | 2 |
仔細觀察可以發現，對於某兩位之間的乘法運算結果a[i]*b[j]，其對於最終結果的貢獻都在第i+j位上。利用這一條性質，我們可以先將所有的貢獻計算出來，最後進行進位處理，提升了運算效率。
2.例題
1.題面
傳送門: 洛谷P1303（A*B Problem）
2.AC代碼
附上AC代碼
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
const int max_n = 2002;//最大位數
int a[max_n],b[max_n],c[max_n];
int main()
{
string A,B;
cin>>A>>B;
int lenA = A.length(),lenB = B.length();
for (int i = 0,j = lenA-1; j>=0; i++,j--)
a[i] = A[j] - '0';
for (int i = 0,j = lenB-1; j>=0; i++,j--)
b[i] = B[j] - '0';
for (int i = 0; i < lenA; i++){
//計算每一位的貢獻
for (int j = 0; j < lenB; j++){
c[i+j] += a[i] * b[j];
}
}
int len = lenA + lenB;//兩數乘積的最大位數不超過兩數位數之和
for(int i = 0;i < len;i++){
//從低位至高位依次處理進位
c[i + 1] += c[i] / 10;
c[i] %= 10;
}
while (!c[len-1]){
len--;//去除多餘0位
}
for (int i = max(0,len-1);i >=0;i--)//這裏使用max函數是爲了處理乘數爲0的情況
{
cout<<c[i];
}//輸出
return 0;
}
PS：此代碼的時間複雜度爲O(n²)，n爲數的位數。若要進行優化，則可以通過快速傅里葉變換來加速高精度乘法，將其優化爲O(nlogn)，由於比較複雜，在此不作深入說明。
二、高精度模板
1.分析
到此，我們已經瞭解了用數組模擬大數並進行加法與乘法的本質與方法，那麼有一個很自然的問題，能不能使用一個模板，使得每次需要使用高精度運算時，或者同時需要使用加法與乘法運算時，能夠使用同一個模板進行運算呢？
根據C++的特性，我們可以通過封裝結構體，並重載運算符的方式來實現一個高精度模板。
2.實現
#define MAX_N 200
//封裝結構體
struct BigNum{
int len;//數的位數
int a[MAX_N];//各數位數組
BigNum(int x = 0){
//通過初始化使其默認表示整形x = 0
memset(a,0,sizeof(a));//初始化
for (len = 0; x ;len++){
a[len] = x % 10;
x /= 10;
}
}
int &operator [](int i){
return a[i];
}
void flatten(int L){
//從第0位到第L-1位進行進位處理，L不小於有效長度
len = L;
for(int i = 0;i < len;i++){
//從低位至高位依次處理進位
a[i + 1] += a[i] / 10;
a[i] %= 10;
}
while (!a[len-1]){
len--;//去除多餘0位,使其重置爲有效長度
}
}
void print(){
//輸出
for (int i = max(0,len-1);i>=0;i--){
printf("%d",a[i]);
}
}
};
//重置+(兩個大數相加)
BigNum operator+(BigNum a,BigNum b){
BigNum c;
int len = max(a.len,b.len);
for (int i = 0; i<len ; i++ ){
//從低位至高位依次作加法運算
c[i]+= a[i]+b[i];
}
c.flatten(len+1);
return c;
}
//重置*(兩個大數相乘)
BigNum operator*(BigNum a,BigNum b){
BigNum c;
int lenA = a.len,lenB = b.len;
for (int i = 0; i < lenA; i++){
//計算每一位的貢獻
for (int j = 0; j < lenB; j++){
c[i+j] += a[i] * b[j];
}
}
int max_len = lenA + lenB;
c.flatten(max_len);
return c;
}
//重置*(大數與int型相乘)
BigNum operator*(BigNum a,int b){
BigNum c;
int len = a.len;
for (int i = 0; i < len; i++){
//計算每一位的貢獻
c[i] = a[i] * b;
}
c.flatten(len+11);//int型的最大長度爲10位
return c;
}
3.例題
例題傳送門：洛谷P1009（階乘之和）
1.題面
題目描述
用高精度計算出 S = 1 ! + 2 ! + 3 ! + ⋯ + n ! （ n ≤ 50 ） S = 1! + 2! + 3! + \cdots + n!（n \le 50） S=1!+2!+3!+⋯+n!（n≤50）
輸入格式
一個正整數 n n n。
輸出格式
一個正整數 S S S，表示計算結果。
輸入輸出樣例
輸入 # 1 1 1
3 3 3
輸出 # 1 1 1
9 9 9
說明/提示
【數據範圍】
對於 100 % 100 \% 100% 的數據， 1 ≤ n ≤ 50 。 1 \le n \le 50。 1≤n≤50。
2.分析
階乘達到22的時候，已經超出了long long的儲存範圍，這裏利用前面寫封裝好的高精模板，就能輕鬆的解決此題。
3.AC代碼
添加上相應的頭文件後，就能正常運行啦！（這裏只貼出main函數模擬題意代碼）
int main(){
BigNum ans(0),fac(1);
int n;
cin>>n;
for (int i = 1;i <= n;i++){
fac = fac * i;
ans = ans + fac;
}
ans.print();
return 0;
}
總結
到此爲止，高精度運算就暫時告一段落了，高精度運算的主要實質爲數組模擬大數進行逐位運算，理解起來不算非常複雜，而通過進一步封裝，得到的高精度模板能夠方便簡潔地實現相應的大數運算。