五條規則的圖靈機可視化。每列像素代表一步計算，步驟從左到右。黑色代表1。最右邊表示圖靈機的停機。（圖片來源：Peter Krumins/Quanta Magazine）
文章來源：環球科學
“忙碌的河狸”這個問題的目的是爲了找到運行時間最長的電腦程序。對它的研究與哥德巴赫猜想、黎曼猜想等一系列數學難題建立了驚人而又深刻的聯繫。
程序員總想讓代碼跑的更快。可在1962年，匈牙利數學家蒂博爾·拉多（Tibor Radó）卻提出了截然相反的問題：要怎麼才能讓一個簡單的電腦程序在終止之前跑的儘可能久？拉多將這樣跑得儘可能低效但仍有效的程序稱爲“忙碌的河狸”。
自從《科學美國人》於1984年刊載這則問題之後，衆多程序員和業餘數學愛好者們份份開始尋找“忙碌的河狸”。不過最近幾年，由於與一些高大上的概念與數學未解的難題建立起聯繫，“忙碌的河狸”已經變成了非常嚴肅的數學問題，
得克薩斯大學的理論計算機科學家斯科特·亞倫森近日發表了一篇關於“忙碌河狸學”的調查，他說：“在數學上，娛樂和真正重要的問題，其邊界非常模糊。”
最近一項研究表明，這些得跑到猴年馬月的程序，或許能澄清一些數學命題，甚至告訴我們哪些內容是可知的。據研究者們稱，忙碌的河狸能幫助我們判斷一個數學問題的難易程度，比如哥德巴赫猜想和黎曼猜想。它能讓人一目瞭然地看到數理邏輯到哪裏就該走不下去了。邏輯學家庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel）在大半個世紀之前就證明了，有一些命題既不能證明也不能證僞，也就是所謂的“不可知”。不過現在，忙碌的河狸能爲我們指出，這個“不可知”究竟位於什麼地方，就如同一張古老的地圖指引旅者走向世界的邊緣。
無法計算的問題
“忙碌的河狸”這個問題，歸根結底是關於圖靈機——這是阿蘭·圖靈（Alan Turing）於1936年提出的一種理想化模型，其中有一條被分爲正方形小塊的長度無限的紙帶，用筆在上面寫或者擦去記號，這些操作需要滿足一套給定的規則，比方說：
規則1. 如果正方形中含有0，則擦掉改成1；然後向右一格，使用規則2；
規則2. 如果正方形中含有1，那就不改，然後向左一格使用規則3；
……
每一項規則都像冒險棋一樣。有些規則甚至可以讓你跳回到之前的規則。在這些規則中，最終有一條“停機”的指令。圖靈證明，如果時間充足，規則得當的話，圖靈機就能做任何計算。
圖靈稱，爲了真正計算出一個結果，圖靈機最終必須得停機——不能卡死或者陷入循環。判別是否能停機的問題稱爲停機問題。他在1936年證明了世界上並不存在解決停機問題的萬精油算法。
而“忙碌河狸”提出了以下問題：給定有限條規則，那麼圖靈機在停機之前最多能走多少步？
蒂博爾·拉多（圖片來源：俄亥俄州立大學檔案）
比方說，我們只用一條規則，又要保證圖靈機停機，那麼這條規則肯定就必須包含停機指令。我們把停機問題的最長步數稱爲忙碌河狸數，那麼BB(1) =1，因爲最多走一步就得停機。
自變量稍有增加，需要考慮的圖靈機數量就會爆炸性增長。如果允許有兩條規則，就有6561種圖靈機，而它們中，只有一隻“忙碌的河狸”，它最長可以走6步。其他大多數圖靈機都不停機，這些不停機的肯定不是“忙碌的河狸”，不過對於一般的情況，要怎麼才能區別出它們？畢竟前面圖靈已經證明，不管圖靈機跑了1000步還是100萬步，都不能咬定圖靈機不會停下來。
這樣就使得尋找忙碌河狸的任務異常艱鉅。規則的條數隨便一改，我們就得從頭開始找最長步數的圖靈機，沒有捷徑。即是說，一般的“忙碌的河狸” 問題是“不可計算的“。
要證明 BB(2) =6和BB(3) =107就已經非常複雜了，拉多的學生Shen Lin做出了這個成果，並於1965年獲得了博士學位。拉多認爲， BB(4) 的問題是“徹底的絕望“，不過還是有人在1983年解決了這個問題。除此之外，研究人員對於5條規則的情況，已經找到了一種圖靈機，它在運行47176870步之後停機，也就是說，BB(5) 起碼比這個數字要大。而BB(6) 最小也得有7.4 × 1036534。亞倫森說：“除非能找到新觀點新思路，否則這個問題根本不可能得到解決。”
不可知的閾值
威廉·加斯塔克（William Gasarch）是馬里蘭大學學院市分校的計算機科學家，他關心的不是如何解決忙碌河狸數問題，相反他對“一般的不可計算問題”非常感興趣。他和其他數學家正以此爲基礎，來估計數學上一些未解之謎的困難程度，或是看看這些問題究竟是否是可知的。
比方說哥德巴赫猜想，說的是對於任何大於2的偶數，總能分解爲兩個質數的和。要是這個問題能得到解決，那麼數論這一學科將迎來史詩般的一刻，數學家對質數分佈的瞭解也會更加深入。2015年，一位網名爲Code Golf Addict的Github用戶發佈了一臺27條規則的圖靈機代碼。這臺圖靈機非常特別，它當且僅當哥德巴赫猜想不成立時，纔會停機。其實很簡單，它一開始工作，就會從4開始，挨着檢查哥德巴赫猜想（當然也是靠遍歷）。如果找到了所需的兩個質數，就往上繼續，以此往復。如果發現了不能表示爲質數和的偶數，就會停機。
這種暴力的方法是不可能解決哥德巴赫猜想的，因爲如果不停機，我們永遠也不會知道猜想是不是正確的。不過，“忙碌河狸”問題爲我們提供了一些思路。假如我們能計算出 BB(27) ，那我們最多也只需運行 BB(27) 這麼多步，再往上如果還沒停機的話，就說明哥德巴赫猜想成立。畢竟 BB(27) 就是27規則停機問題的最大步數了。如果在此之前就停機，自然說明猜想不成立。
困難在於，BB(27) 是如此大的一個數，寫下來都很難，要運行那麼多次去檢驗哥德巴赫猜想，這在我們的宇宙中是遠不可能的。雖然如此，那個巨大的數字仍然是一個具體的數，亞倫森稱，這代表着我們對於數論領域“現有知識的陳述”。
2016年，亞倫森同尤里·馬季亞謝維奇（Yuri Matiyasevich）、斯特凡·奧里爾（Stefan O’Rear）一同做了一項類似的工作。他們設計了一臺744條規則的圖靈機，當且僅當黎曼猜想不成立時停機。黎曼猜想同樣與質數的分佈有關，是七大千禧問題之一，獎金高達一百萬美元。亞倫森的這臺圖靈機只要運行 BB(744) 步，就能解決黎曼猜想。當然這裏也是同樣暴力的算法，挨着遍歷直到反例出現。
BB(744) 比 BB(24) 又大了很多很多。不過亞倫森說道，要是深入研究一些簡單的問題，比如 BB(5) ，“就有可能從中發現一些本身就很有趣的數論問題。”例如，數學家帕斯卡爾·米歇爾（Pascal Michel）在1993年證明，目前保持着5規則步數記錄的那個圖靈機，其規則與考拉茲猜想中函數行爲極其相似，而後者是數學中又一個著名的未解之謎。
亞倫森說道：“這麼多問題可以歸結爲‘圖靈機是否停機？’，那如果我們能知道所有的‘忙碌河狸數’，就能解決所有問題。”
最近，亞倫森又在使用一種基於“忙碌河狸”的方法去測量整個數學系統的“不可知閾值”。哥德爾1931年證明了他那著名的不完備定理：對任意的公理集合，要麼公理不相容（也就是會產生矛盾），要麼不完備（存在不可證明的真命題）。而現代數學賴以生存的ZF集合公理也毫不例外地存在哥德爾界限。而亞倫森想要用“忙碌河狸”去估計它的邊界具體在哪裏。
2016年，他和他的研究生亞當·葉迪迪亞（Adam Yedidia）鼓搗出了一臺7910條規則的圖靈機，當且僅當ZF集合理論不相容時停機。這就是說 BB(7910) 次計算就能得到ZF集合理論的相容性。而這些公理本身在計算 BB(7910) 的時候是用不到的，就像我們算2+2=4的時候用不到集合公理時一樣。
奧里爾緊接着提出了一個更簡單的748條規則的圖靈機，同樣用來檢測ZF公理。這樣就把不可知的閾值降低了。奧爾良州立大學名譽教授，數理邏輯學家哈維·弗裏德曼（Harvey Friedman）說：“這有些戲劇性，規則數變得沒那麼誇張了。”弗裏德曼認爲，這些數字還能進一步降低：“我覺得最終答案應該在50左右。”而亞倫森認爲，真正的閾值應該接近BB(20) 。
無論大小，不可知的閾值的確是存在的。亞倫森說道：“自從哥德爾以來，我們的世界就一直是如此（不可知）；而‘忙碌河狸’函數得以讓這一切更加清晰明瞭。”
原文鏈接：
https://www.quantamagazine.org/the-busy-beaver-game-illuminates-the-fundamental-limits-of-math-20201210/
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