每日一面 - sqrt (2)約等於 1.414，如何求sqrt (2)小數點後 10 位

1.從 1.414 向下一位開始，二分法查找平方最接近2的數字。效率比較差。

2.使用牛頓迭代法:

• x初始等於1.414

• 不斷令x等於x和2/x的平均數，然後求每次x的平方，看與2的差距

• 這樣比之前的二分法要精簡很多次運算。

這種算法的原理很簡單，我們僅僅是不斷用(x,f(x))的切線來逼近方程x^2-a=0的根。根號a實際上就是x^2-a=0的一個正實根，這個函數的導數是2x。也就是說，函數上任一點(x,f(x))處的切線斜率是2x。那麼，x-f(x)/(2x)就是一個比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2

3. Chris Lomont 魔法數 + 牛頓迭代，這個偏離了本題條件，因爲本題給了初始數字1.414，但是對於沒有初始猜想的數字，使用魔法數字 0x5f375a86 (源代碼註釋是：what the fxxk？？？，哈哈哈哈哈，這個數字太匪夷所思了，但是這就是數學的魅力)猜想初始數字，比x等於x和2/x的平均數這個初始數字，進行開方平均效率高很多，具體計算過程是：

float InvSqrt(float x)
{
    float xhalf = 0.5f*x;
    int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE 
    i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
    x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
    x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
    x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
    x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy

    return 1/x;
}

這個函數返回的是1/sqrt(x)，這個比sqrt(x)更常用於圖像處理，參考這篇論文理解爲啥是 0x5f375a86: http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf

本文分享自微信公衆號 - 我的編程喵（MyProCat）。
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