早在兩千多年前，亞里士多德就已開始着手的一項研究，今日仍在麻省理工學院（MIT）30 名本科生的工作組中進行着。人們一直在使用現代數學的新工具，爲這一持續千年的探索注入新的活力，以尋找可以完美填充或平鋪的三維空間形狀。
「當知道一些偉大的思想家畢生都在研究這個題目，我們不由地感到興奮，甚至感到有點害怕，」MIT 數學和計算機科學系一年級學生 Yuyuan Luo 說道，他是 Bjorn Poonen 教授組織的研究團隊的一員。
亞里士多德對於這個問題的興趣，來自於對他的導師柏拉圖的反駁。
在公元前 360 年的經典《蒂邁歐篇》（Timaeus）中，柏拉圖討論了古典四元素理論：水、氣、火、土。他推測，這些元素都是由具有獨特形狀的粒子構成的，這些粒子的形狀與五個常規固體一一對應，分別爲：正四面體（火），正八面體（氣），正二十面體（水），及正六面體（土）。
亞里士多德基於自己的假設（即這些元素的粒子必須能夠完整填充全部空間）提出了反對。也就是說，他認爲在有水的地方，需要能夠正好排列數個二十面體水顆粒，以使二十面體完美地佔據整個水域而不會重疊。
經過進一步思考，亞里士多德在公元前 350 年的《論天》（De Caelo）一書中解釋說，二十面體「不會成功地填充整個空間」。因此他辯稱水顆粒不可能具有這種形狀。由於同樣的原因，他進而懷疑氣元素顆粒的形狀應該也不是八面體，但他認爲土元素（立方體）和火元素（四面體）是可以填充整個空間的。所以他認爲柏拉圖在這兩種元素上的推論是正確的。
但千年以後，人們發現亞里士多德的這部分推論也有錯誤。
早在十五世紀，科學家們就開始懷疑正四面體（四個面均爲等邊三角形）也不能用來完整填充空間，到十七世紀時，人們就已經完全確認了這一問題。如果亞里士多德當年進行過深入研究的話，他其實也可以認識到這一點。
「如果亞里士多德製造了正四面體模型，他自然就可以把它們邊對邊擺在一起，進而發現擺上五個四面體之後還有一個小小的空隙」史密斯學院的 Marjorie Senechal 說道。
如果正四面體行不通，那麼問題就變成了：存在這樣的不規則四面體嗎？
1923 年，蘇格蘭數學家 Duncan Sommerville 給出了第一個這方面的例子。
總的來說，數學家們已經發現了兩個單獨的四面體和三個四面體無限族可以填充空間。無限族有一個參數，你可以用無限種方法來縮小一些內角，擴大其他內角，同時保持這些多面體填充空間的能力。數學家們還沒有發現其他情況，也不確定究竟存在多少種情況。
「我不知道除了找到這些例子之外，這個問題到底有沒有理論上的解，」 Senechal 表示。
事實上，大部分三維形狀都無法填充空間。「我們不瞭解填充三維空間的難度有多大，」康奈爾大學的 Inna Zakharevich 表示，「我認爲，任何能做到這一點的立方體都很酷」。
這意味着，尋找這種形狀多少有點靠運氣。幸運的是，該問題與其他兩個相關問題之間的巧妙對應有助於尋找可以平鋪三維空間的四面體。第一個相關問題是：兩個相同體積的直邊圖形總是可以用直線分隔並重新組合嗎？德國數學家大衛・希爾伯特（David Hilbert）在 1900 年提出了這個問題。同年，他的學生，Max Dehn 給出了答案的一個重要部分。
Dehn 展示了可以使用任意多面體形狀的角度（例如四面體或立方體）來計算單個量，現在稱爲 Dehn 不變量。他證明要使兩個形狀「scissors congruent」（可以被剪開並重組），就意味着它們必須有相同的 Dehn 不變量。Dehn 使用他的新測量方法證明，規則的四面體和立方體不是 scissors congruent 的，因爲它們的 Dehn 不變量不同。
20 世紀後期，數學家們證明了另外兩個關鍵的事實，將 scissors congruence 和平鋪關聯在了一起。1965 年，讓・皮埃爾・賽德勒（Jean-Pierre Sydler）證明了具有相同體積和相同 Dehn 不變量的任何兩個形狀都是 scissors congruent 的。而後在 1980 年，漢斯・德布倫納（Hans Debrunner）指出，任何平鋪空間的四面體都必須具有 0 的 Dehn 不變量 —— 這與立方體相同。從這些發現可以得知四面體必須和立方體保持 scissors congruent 才能填充整個空間。
所以如果你想找到一個能夠填滿空間的四面體，則其 Dehn 不變量爲零。但要找齊所有這樣的四面體並不是一件容易的事。
四面體包含了六個沿成對的面相交的邊緣形成的「二面角」。1976 年，約翰・康威（John H. Conway）和 Antonia J. Jones 提出：是否有可能確定所有四面體，這些四面體的所有二面角的度數均爲有理數？也就是說它們可以整齊地寫成分數？
「這個問題可能在古代就曾被提出，但具體時間無從得知」，加州大學聖地亞哥分校的 Kiran Kedlaya 表示。在近期的一份研究中，Kedlaya、Poonen 和其他兩位合著者證明，恰好是 59 個孤例加上兩個四面體無限族具備符合上述條件的二面角。
研究詳情：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-finally-prove-rational-tetrahedron-solutions-20210202/
最重要的是，任何具有有理二面角的四面體的 Dehn 不變量均爲 0，這意味着它與立方體是 scissors congruent 的，並且有平鋪空間的可能性。
這就引出了 MIT 本科生們與 Poonen 共同進行的這項工作：研究這些四面體哪些發揮了它們平鋪空間的潛力。
一月中旬，團隊證明了有一個孤立的有理四面體不能填滿空間。該結果標誌着第一次有人發現了這種四面體，它與立方體「scissors congruent」，但無法填充空間。
參考鏈接：https://www.quantamagazine.org/mit-math-students-continue-aristotles-tetrahedra-tiling-20210209/
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