青蛙跳問題爲什麼是斐波那契數列

• 在面試中我們可能會遇到青蛙跳的問題：一隻青蛙一次可以跳上一級臺階，或者跳上二級臺階。那麼如果總共有N級臺階，問這隻青蛙總共有多少種跳法？

• 首先，我們考慮最簡單的情況，如果只有一級臺階，那顯然青蛙只有一種跳法。如果只有二級臺階，那麼青蛙就有兩種跳法，一種是每次跳一級，總共跳二次，另一種就是直接跳二級。

• 接下來，再來看N級的（N大於2）的情況。我們先把N級臺階的跳法看做一個N的函數，記爲f(N)。考慮N>2時，第一次跳就有兩種跳法，一種是第一次只跳一級，此時跳法數就是後面剩下的N-1級臺階的跳法數，即爲f(N-1)；另一種則是第一次跳二級，那麼此時的跳法數就是後面剩下的N-2級臺階的跳法數，即爲f(N-2)。所以，N級臺階的跳法總數就是f(N)=f(N-1)+f(N-2)。顯然這就是一個N>0的斐波那契數列。

• C++實現遞歸解法

#include<iostream> 
using namespace std; 

long long RecursiveFibonacci(unsigned int n)
{
    if(n == 1 || n == 2)
        return n;

    return RecursiveFibonacci(n-1) + RecursiveFibonacci(n-2);
}

int main() 
{
    cout << "RecursiveFibonacci(1)=" << RecursiveFibonacci(1) << endl;
    cout << "RecursiveFibonacci(2)=" << RecursiveFibonacci(2) << endl;
    cout << "RecursiveFibonacci(3)=" << RecursiveFibonacci(3) << endl;
    cout << "RecursiveFibonacci(5)=" << RecursiveFibonacci(5) << endl;
    cout << "RecursiveFibonacci(10)=" << RecursiveFibonacci(10) << endl;
    cout << "RecursiveFibonacci(50)=" << RecursiveFibonacci(50) << endl;
    cout << "RecursiveFibonacci(100)=" << RecursiveFibonacci(100) << endl;
}

• 很顯然，遞歸實現效率是非常低的，其時間複雜度是n的指數級。因爲遞歸存在着大量的重複計算，大家也可以自己跑代碼試試，遞歸去計算n=50就非常慢了。

• 所以，優化思路就是從前往後計算，先根據f(1)和f(2)算f(3)，在根據f(2)和f(3)算f(4)，以此類推算出f(N)。其時間複雜度是O(n)。

• C++實現非遞歸解法

#include<iostream> 
using namespace std; 

long long NonRecursiveFibonacci(unsigned int n)
{
    if(n == 1 || n == 2)
        return n;

    long long n1 = 1;
    long long n2 = 2;
    long long result = 0;
    for (unsigned int i = 3; i <= n; i++)
    {   
        result = n1 + n2;
        n1 = n2;
        n2 = result;
    }
    return result;
}

int main() 
{
    cout << "NonRecursiveFibonacci(1)=" << NonRecursiveFibonacci(1) << endl;
    cout << "NonRecursiveFibonacci(2)=" << NonRecursiveFibonacci(2) << endl;
    cout << "NonRecursiveFibonacci(3)=" << NonRecursiveFibonacci(3) << endl;
    cout << "NonRecursiveFibonacci(5)=" << NonRecursiveFibonacci(5) << endl;
    cout << "NonRecursiveFibonacci(10)=" << NonRecursiveFibonacci(10) << endl;
    cout << "NonRecursiveFibonacci(50)=" << NonRecursiveFibonacci(50) << endl;
    cout << "NonRecursiveFibonacci(100)=" << NonRecursiveFibonacci(100) << endl;
}