多元複合函數求導法則
多元複合函數是用在bp神經網絡或者叫做神經網絡的bp算法當中。深度學習是基於深度神經網絡的。多元複合函數在神經網絡算法當中有很大的用處。習慣性當中，把多元複合函數求導法則稱爲鏈式法則。
多元函數全增量
全增量爲
△z=f(x0+△x，y0+△y)-f(x0，y0)
=f(x0+△x，y0+△y)-f(x0+△x，y0)
+f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)
=fy'(x0+△x，ξ1)·△y+fx'(ξ2，y0)·△x
【其中ξ1在y0與y0+△y之間，
ξ2在x0與x0+△x之間】
然後利用一階偏導數的連續性，
【ξ1→y0，ξ2→x0】
fy'(x0+△x，ξ1)=fy'(x0，y0)+α
fx'(ξ2，y0)=fx'(x0，y0)+β
【其中，α，β是無窮小】
從而，
△z=fy'(x0，y0)△x+fx'(x0，y0)△y
+α△x+β△y
其中，α△x+β△y=o(ρ)
全增量等於兩個偏增量的和。
- 一元函數與多元函數複合
若函數u=å(t)及v=ß(t)都在t點可導，函數z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續偏導數，那麼複合函數z=f[å(t),ß(t)]在點t可導，且
證明：設t獲得增量
，此時u=å(t)、v=ß(t)的對應增量爲
、
函數的全增量
當->0，->0時，
->0，
->0
等式兩邊同時除以
則
- 多元函數與多元函數複合
如果函數u=å(x,y),v=ß(x,y)都在點(x,y)具有對x及對y的偏導數，函數z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續偏導數，那麼複合函數z=f[å(x,y),ß(x,y)]在點(x,y)的兩個偏導數都存在，且有
證明的過程跟一元函數跟多元函數複合一樣，只不過求對x的偏導的時候把y看成常數，求對y的偏導的時候把x看成常數。
類似的，設u=å(x,y),v=ß(x,y)及w=
(x,y)都在點(x,y)具有對x及對y的偏導數，函數z=f(u,v,w)在對應點(u,v,w)具有連續偏導數，則複合函數z=f[å(x,y),ß(x,y),(x,y)]在點(x,y)的兩個偏導數都存在，且可用下列公式計算：
如果函數u=å(x,y)在點(x,y)具有對x及對y的偏導數，函數v=ß(y)在點y可導，函數z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續偏導數，那麼複合函數z=f[å(x,y),ß(y)]在點(x,y)的兩個偏導數都存在，且有
設z=f(u,x,y)具有連續偏導數，u=å(x,y)具有偏導數，則複合函數z=f[å(x,y),x,y]具有對自變量x及y的偏導數，且有
多元複合函數求導法則示例
- 設
![]()
，求![]()
和![]()
，求
和
令u=x+y,v=xy,則
隱函數求導公式
隱函數：一般地，如果變量x和y滿足一個方程g(x,y)=0，在一定條件下，當x取某區間內的任一值時，相應地總有滿足這方程的唯一的y值存在，那麼就說方程g(x,y)=0在該區間內確定了一個隱函數。
例如
這裏y=3√(2-x)，所以當x取任意值時，y的值唯一，所以這裏確定了一個隱函數。大致圖形如下
，這個方程能否確定一個隱函數，它的圖形大致如下
由圖形可知，在(0,1)範圍內隨意取一個x值，y的值不唯一，所以這個方程不能確定一個隱函數。
在點(0,1)的某個鄰域內存在隱函數嗎？
我們上面一題中其實是從一元函數的角度來看待的，而這裏其實是從二元函數的角度來看待的，(0,1)這個點就是A點，A點點鄰域內，它是可以存在隱函數的，只要這個鄰域不過大。
隱函數求導公式：設函數g(x,y)在點P(x0,y0)的某一鄰域內具有連續偏導數，且g(x,y)=0,
,則方程g(x,y)=0在點(x0,y0)的某一鄰域內恆能唯一確定一個連續導數的函數y=f(x)，他滿足條件y0=f(x0)，並有
，同時也被稱爲隱函數存在定理1。
證明：將y=f(x)代入g(x,y)=0得恆等式g(x,f(x))
0，左端看作是x的一個複合函數，兩端求導得
，將其變型後就可得
設函數g(x,y,z)在點
的某一鄰域內具有連續偏導數，且
，則方程g(x,y,z)=0在點
的某個鄰域內恆能唯一確定一個連續且有連續偏導數的函數z=f(x,y)，它滿足條件
，並有
，同時也被稱爲隱函數存在定理2。
隱函數求導公式示例
驗證方程在點(0,1)的某一個鄰域內能唯一確定一個有連續導數，當x=0,y=1時的隱函數y=f(x)，並求這函數的一階導數在x=0的值。
設
，則
根據隱函數存在定理1，可以確定隱函數y=f(x)存在，且一階導數x=0的值爲0