同濟版《線性代數》再遭口誅筆伐,網友:它真的不太行

明敏 發自 凹非寺 
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大家好,我是小五🐶

近日,有網友在知乎開帖,將自己總結的線性代數邏輯框架分享了出來,本來僅僅只是學習分享,沒想到又又又把同濟版線性代數拉出來鞭屍一回。

開帖如下:

對於樓主的框架,廣大網友表示不應該把矩陣作爲理解線性代數的核心。

答主@楊數森表示,線性代數的最核心問題就是怎樣的線性變換是相似的。

最好不要把矩陣作爲線性代數的核心,就像不要把初等函數作爲微積分的核心一樣。

線性代數的最核心問題就是怎樣的線性變換是相似的,而這些相似的線性變換具有怎樣的特徵。引入特徵值爲這個問題提供了巨大的幫助,卻不夠徹底,因爲尚不能解釋爲何存在非零的冪零變換。

經過複雜的討論,我們知道複線性變換的 Jordan 標準型是判斷線性變換是否相似的標誌,也是衡量線性變換的特徵的方式。

所謂兩個線性變換是相似的,就是它們能在適當的基下表示成相同的矩陣,而 Jordan 標準型就是其中的代表。

爲了把線性代數應用到分析和幾何領域,需要在線性空間中引入度量,而內積正是確定度量的巧妙方法。

歐氏空間是帶有內積的線性空間,其中的內積是正定、對稱的雙線性函數。在有限維歐氏空間中,能夠順應所給內積的基是標準正交基,保持內積不變的變換是正交變換。歐氏空間中的另一個有意義的變換是對稱變換,而它也恰好對應於二次型。

也有網友認爲,向量空間、線性空間以及線性空間之間的態射應該是線性代數的核心。

更有網友表示,之所以會產生這樣的誤解,很大原因是教材的編寫框架對人造成了誤導。

同濟版《線性代數》再一次被推到了風口浪尖。

同濟版《線性代數》爲何會引起衆怒?

同濟版《線性代數》爲何會頻頻引起“衆怒”呢?

早在2019年,知乎上便有了關於這版教材的吐槽討論。

吐槽理由主要在於教材章節混雜、原理晦澀難懂,往往學完一本書也不明所以。

最令人詬病的便是教材內容編排不合理,無論是從行列式開始、還是從矩陣入手,教材開篇生硬地引入大量全新的概念,對於廣大學子而言都深感莫名其妙。

儘管學習了行列式,但是大家行列式的認識也只停留在盲目做習題這一層面,把這行乘一個係數加到另一行上,再把另一行減過來,但是卻不明白這麼來回折騰的意義是什麼。

此外,作爲一門本身就十分抽象的學科,同濟版《線性代數》對於許多概念的解釋仍舊是冗長的下定義模式,缺乏直觀的幾何理解,這也使許多人更加不理解學習線性代數的意義。

定義雖然講解了對角線法則,但是卻沒有解釋爲什麼四階行列式開始便不使用該方法

不夠合理的課程內容編排、晦澀難懂的定義原理,讓人感覺這不是在學習一門課程,而是被不由分說地拋到一個強制的世界中,只是在考試的皮鞭下被迫趕路。

你的線性代數,之前可能都學錯了

其實,同濟版《線性代數》之所以會飽受吐槽,還有一個更大的原因:無論是科研還是實際工程應用,線性代數的身影無處不在。如果沒有理解其中原理,在日後的運用中可謂是步履維艱。

CSDN 副總裁孟巖曾在《理解矩陣》一文中表示“不少人即使能夠很熟練地以線性代數爲工具進行過科研和應用工作,但是對於很多初學者提出來的看上去很基礎的問題並不清楚。”

比如說:矩陣究竟是什麼東西?向量可以被認爲是具有n個相互獨立性質(維度)的對象的表示,矩陣又是什麼呢?

如果認爲矩陣是一組列(行)向量組成的新的複合向量的展開式,那麼爲什麼這種展開式具有如此廣泛的應用?

特別是爲什麼偏偏二維的展開式如此有用?如果矩陣中每一個元素又是一個向量,那麼再展開一次,變成三維的立方陣,是不是更有用?

面對這一類的問題,許多老手們就好像大人在面對小孩子的刨根問底,最後總會迫不得已地說:“就是這麼規定的,你接受並且記住就好。”

然而這樣的問題如果不能獲得回答,線性代數對於學習者而言就是一個簡單粗暴的、莫名其妙的規則合集。

這種過分強調形式論證、忽略直覺思維的教學形式,也會在一定程度上限制學習者的創新能力,使最後培養出來的學生也只能熟練地應用工具,缺乏真正意義上的理解。

正確學習姿勢

對此,不少“過來人”爲初學者推薦了這些課程,可以幫助大家更好學習理解線性代數:

1.Gilbert Strang的「線性代數 MIT 18.06」課程及教材《Introduction to Linear Algebra》

不同於國內教材,Strang的課程更加面向實際應用、難度適中,比較注重從實際問題中培養數學直覺,適合工程學科學生使用。

並且在課程中,Strang會先引入有趣的數學事實,然後討論爲什麼這樣是對的,再留一些習題讓學習者自己去深入探究原理,培養學習者對線性代數的興趣。

2.J. Ström, K. Åström 和 T. Akenine-Möller的《沉浸式線性代數》教程(《Immersive Linear Algebra》)

教程鏈接:http://immersivemath.com/ila/index.html

這份教程不再是簡單、枯燥的文字+公式組成,而是包含了大量生動有趣的動畫演示,用交互的方式進行學習。

在閱讀內容的時候,學習者可以自己去移動其中的動圖,變換參數,從不同的角度來理解其中的知識。

3.藍以中的《高等代數簡明教程》和丘維聲的《簡明線性代數

如果有的同學對英文比較頭大,也可選擇國內這兩位老師的課程學習。

關於線性代數教材,你有想分享或吐槽的內容嗎?

參考鏈接:
知乎話題:https://www.zhihu.com/question/448135596
“楊數森”的回答(已獲授權):https://www.zhihu.com/question/448135596/answer/1805794712
《理解矩陣》:https://wenku.baidu.com/view/f96956b404a1b0717fd5ddca.html

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