CF1504D Flip the Cards（找規律+貪心）
題目大意：給你n張牌，正反面都有數字，保證所有牌上的數字在$[1,2n]$內且互不相同。你可以翻轉任意張牌，接下來需要把牌按正面的數字從小到大排序，需要保證排序後牌背面的數字是從大到小。給出初始時牌的狀態，問最少需要多少次翻轉才能符合要求，如果一定達不到要求則輸出-1。 n=1e5
限制關係是環，難以從前到後直接處理這個長度爲2n的序列
套路1：把序列砍成一半
我們定義$a[i]$表示數$i$的牌背面的數字是多少。
多畫幾個例子容易發現，如果一張牌正反面都$\le n$或正反面都$>n$，一定不合法！因爲數字各不相同，排的時候剩餘的空不夠！假設有一張牌的數字都$\le n$，那麼在$[1,n]$內可用的其他位置爲$n-2$個，卻還有$n-1$張牌要佔位置。都$>n$的情況是同一個道理
現在只考慮$[1,n]$，我們需要把$a[i]$劃分成兩個下降子序列！第一個序列i正面$a[i]$負面，第二個序列從後到前，a[i]反面i正面。
套路2：觀察性質
如果$i$滿足$min_{j\le i}(a[j]) > max_{j>i}(a[j])$，我們稱$i$和$i+1$的間隔是一個間斷，間斷把序列分成數段，段和段之間的答案不會相互影響，因爲段頭可以接在任意一個子序列的末尾
單個段具有特殊性質！如果這段能劃分成兩個下降子序列，那麼劃分的方式是唯一的
證明：
假設這一段是$[l,r]$，那麼只有唯一的一個$x\in(l,r],a[x]>a[l]$
對於$i\in (l,r]$
1.要麼存在$l\le j<i$，$a[j]<a[i]$，$i$和$j$一定不在一組
2.要麼存在$i<k\le r$，$a[k]>a[i]$，$k$和$i$不在一組
對於$(l,x)$的位置，一定和l劃分到一組。在這之後，l開頭一組，x開頭一組。現在需要證明$(x,r]$之間的劃分方式唯一
如果$a[i]$小於l的序列的末尾元素，似乎可以把i分到l或者x的末尾。但它一定不滿足性質1，則性質2成立，它必須和k不在同一組。如果k滿足性質2，對應的位置是k'，那麼i,k,k'都不在同一組，一定不合法，因此k只能滿足性質1，與i不在同一組。如果a[i]大於l的末尾元素，則只可能放在x的末尾。
當遍歷到x+1是，l組的末尾（也就是x-1）滿足性質2，x-1對應的k一定不和l一組，只能和x一組。歸納到(x,r]的其他位置，唯一確定了這一段的劃分方式
綜上，我們只需要關心l是正還是反就行了，正反兩種情況討論一下取最小值即可
1 const int maxn=400000,N1=maxn+5; const int inf=0x3f3f3f3f; 2 3 int n; 4 template <typename _T> void read(_T &ret) 5 { 6 ret=0; _T fh=1; char c=getchar(); 7 while(c<'0'||c>'9'){ if(c=='-') fh=-1; c=getchar(); } 8 while(c>='0'&&c<='9'){ ret=ret*10+c-'0'; c=getchar(); } 9 ret=ret*fh; 10 } 11 int oa[N1],ob[N1],a[N1], type[N1]; 12 int sma[N1],smi[N1]; 13 14 int mi[2]; 15 int check(int l,int r,int p) 16 { 17 mi[p]=a[l]; mi[p^1]=inf; int ans=type[l]^p; 18 for(int i=l+1;i<=r;i++) 19 { 20 if(a[i]>max(mi[p],mi[p^1])) return -1; 21 if(mi[p]<mi[p^1]){ 22 if(a[i]<mi[p]) mi[p]=a[i], ans+=type[i]^p; 23 else mi[p^1]=a[i], ans+=type[i]^p^1; 24 }else{ 25 if(a[i]<mi[p^1]) mi[p^1]=a[i], ans+=type[i]^p^1; 26 else mi[p]=a[i], ans+=type[i]^p; 27 } 28 } 29 return ans; 30 } 31 int calc(int l,int r) 32 { 33 return min(check(l,r,1),check(l,r,0)); 34 } 35 int solve() 36 { 37 int ans=0, tmp; 38 for(int i=1,j=1;i<=n;i++) 39 { 40 for(j=i;j<n&&smi[j]<=sma[j+1];j++); 41 tmp=calc(i,j); if(tmp==-1) return -1; 42 ans+=tmp; 43 i=j; 44 } 45 return ans; 46 } 47 48 int main() 49 { 50 scanf("%d",&n); 51 for(int i=1;i<=n;i++) 52 { 53 read(oa[i]), read(ob[i]); 54 if( (oa[i]<=n && ob[i]<=n) || (oa[i]>n && ob[i]>n) ){ puts("-1"); return 0; } 55 if(oa[i]<=n) a[oa[i]]=ob[i]; else a[ob[i]]=oa[i], type[ob[i]]=1; 56 } 57 smi[0]=inf; 58 for(int i=1;i<=n;i++) smi[i]=min(smi[i-1],a[i]); 59 for(int i=n;i>=1;i--) sma[i]=max(sma[i+1],a[i]); 60 int ans=solve(); 61 printf("%d\n",ans); 62 return 0; 63 }