如何快速設計一個FIR濾波器 Label:Research

轉自如何快速設計一個FIR濾波器（一） - 知乎 (zhihu.com)

在工作中，我們最佩服的一羣人就是那種只用“紙和筆”就能把問題說清楚甚至解決的人，這需要超強的理論基礎以及模型抽象能力——一言不合就上公式，簡單、粗暴、有效。

今天，我們也來裝一裝X，看看如何通過簡單“寫寫畫畫”來設計一個FIR濾波器。

濾波器的概念相比大家都很熟悉了，一般按照頻率特性可以分爲低通、高通、帶通及帶阻濾波器，這是從輸出特性來說的。

設計常規濾波器的時候，我們一般採用另外一種分類，FIR（Finite Impulse Response）和IIR（Infinite Impulse Response）filter，即有限脈衝響應濾波器和無限脈衝響應濾波器。前面的文章中，我們已經介紹了，理想脈衝信號，其傅里葉變換恆爲1，也就時包含了所有頻率分量，是一個理想的測試信號，能夠激發出所有單位頻率分量的響應，因此理想脈衝信號的響應，就代表了系統的特性。

濾波器也可以看成一個系統，如果用一個理想脈衝信號激勵，就會有輸出，我們把輸出個數有限的稱爲有限脈衝響應濾波器（FIR）；輸出無限多的稱爲無限脈衝響應濾波器（IIR）。今天先說一下FIR。

一、Z傳遞函數的零點和極點代表什麼

我們知道  域的零極點表徵了系統的響應特性：極點代表了系統的模態，零點代表了系統能屏蔽的模態，具體參看文章

J Pan：如何入門自動控制理論​zhuanlan.zhihu.com

在“如何理解離散傅里葉變換及z變換”一文中，

J Pan：如何理解離散傅里葉變換及Z變換​zhuanlan.zhihu.com

我們介紹了  域和 域的關係： ，  ，所以

當  時， ，對應的是  域的虛軸，而此時  對應的是單位圓，也就是說 變換將  域的虛軸映射成  域的單位圓。

當  時， ，對應的是  域的正半軸，而此時  ，由於 ，也就是說此時 變換將 域正半軸映射到了 域的單位圓外部。

當  時， ，對應的是  域的負半軸，而此時  ，由於 ，也就是說此時 變換將 域負半軸映射到了 域的單位圓內部。

 

繼續擴展，  ,很顯然：

• 當  時  ;
• 當  時  ;
• 當  時  ;
• 當  時  ;

我們知道在  域上，虛軸上不同的點對應不同的頻率，而  域上單位圓與  域虛軸對應，可見，  域單位圓上不同的點，代表了不同的頻率。

很容易得到，對於  域的傳遞函數的零極點，也有和  域零極點類似的結論：

• 規律1：如果在單位圓上有零點，則在零點所對應的頻率上幅值響應爲零；
• 規律2：對於不在單位圓上的零點，在單位圓上離零點最近的點對應的頻率上幅值響應最小。
• 規律3：對於在單位圓內部的極點，在單位圓上離極點最近的點對應的頻率上幅值響應最大。
• 規律4：如果極點和零點重合，對系統的頻率響應沒有影響。

在“如何理解離散傅里葉變換及z變換”一文中，我們還介紹瞭如果一個信號的頻譜如下：

頻譜中最大的頻率爲  ，用一個週期爲  狄拉克梳狀函數進行采采樣後的頻譜爲原頻譜的週期延拓，延拓的週期爲採樣週期  ，示意圖如下：

也就是說，採樣之後的頻譜是一個週期函數，我們把 稱爲主值區間，其中  是  延拓一個  週期得來的，與  完全對稱，因此我們一般只考慮  區間，也就是半個單位圓的區域。

---

二、零、極點分佈如何影響頻率響應

我們先看個簡單的例子，熟悉一下套路。

Ex1： 

對於這個系統，在  有一個極點，在  時有一個零點。零、極點分佈如下：

其中  表示零點，  表示極點。我們來粗略分析一下這個系統的響應會是什麼樣。從  也就是單位圓上角度爲零（也是頻率爲零）的點開始，此處有一個零點，根據規律1，顯然在頻率爲零時系統響應爲零，順着單位圓沿逆時針方向旋轉，我們離零點越來越遠，零點的影響也越來越小，因此幅值響應會逐漸增大。當我們到達  ,也就是頻率爲  時，此時離零點最遠，因此響應會達到一個最大值，當頻率繼續增大時，由於離零點又開始接近了，幅值響應又開始變小。

細心的童鞋可能發現了另外一個端倪，你剛分析了零點，可系統明明還有一個極點啊！——沒錯，爲你的細心點贊——我們仔細觀察，發現極點正好位於圓心位置，也就是說所有頻率段離極點的距離都一樣，因此可以認爲都沒影響。

用freqz函數將系統的頻響畫出來，就長成下圖的樣子，這也印證了我們之前的分析，這個系統本質上是一個高通濾波器。

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 -1];a=[0 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-60 10];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

　　

這個系統換做時域是什麼樣？

若  爲系統輸出，  爲系統輸入，則 

進行逆變換就可以得到：

這本質就是一個差分，對應連續系統的微分，我們知道微分對應的是傳遞函數是  ，穩態時爲  ,這顯然是一個高通濾波器，與前面的分析是一致的。

 

Ex2： 

很容易看出系統的零極點圖如下：

顯然，零點跑到了  處，因此，系統的頻響會先減小，到  處達到最小值，然後又增加，具體頻響如下圖，這本質上是一個低通濾波器。

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 1];a=[0 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-60 10];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

　　

很容易得到時域的表達式爲： 

這本質就是一個離散求和，對應連續系統的積分，我們知道微分對應的是傳遞函數是  ，穩態時爲  ,這顯然是一個低通濾波器，與前面的分析是一致的。

Ex3：假如我們在0到  之間放置一個零點，那會不會是一個帶阻濾波器呢？比如我們想在頻率在  這個點的系統頻率響應爲零。

 

頻率 所在點對應的相角爲  ，由第一部分可知，頻率響應在  與  之間具有對稱性，因此上述系統在相角爲  處也有一個零點。

轉化成傳遞函數就是：

展開可以獲得：

即 

 

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 sqrt(2) 1];a=[0 0 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-60 10];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

　　

這個系統換做時域是什麼樣？

若  爲系統輸出，  爲系統輸入，則

進行逆變換就可以得到：

 

Ex4：

前面，我們把零點和極點都放在了單位圓上，那能不能放在其他位置呢？——單位圓外面是不行的，因爲外面對應着s域的正半軸，系統是不穩定；內部呢？我不妨把零點先放在x軸上試試，放在  這個點上。

粗略分析，當  時（對應頻率爲零）離零點最近，此時頻率響應應該最小，但不爲零。當  時（對應  ）離零點最遠，響應應該到達最大值。

可見，零極點的位置決定了系統在不同頻率下的響應情況。

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 -0.5];a=[0 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);
N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-7 5];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');
ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

　　

Ex5：

這個傳遞函數有點意思了，它有6個根——都是複數哦！

我們可以將上述方程寫成如下格式： 

所以解爲： 

總共有6個根均布在單位圓上，如下圖：

我們可以畫出如下的頻率響應，可見其本質是一個多個帶阻的濾波器。這種濾波器有啥用呢？我們知道，市電頻率是50Hz，其帶來的干擾一般就是50Hz其整數倍諧波100Hz、150Hz，200Hz等，選擇這種數字濾波器就可以消除類似於市電50Hz帶來的噪聲影響。

 

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 0 0 0 0 0 -1];a=[0 0 0 0 0 0 -1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);
N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-30 10];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');
ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

　　

 

Ex6： 

對於該函數，其零點位於  處，6個零點均勻分佈在單位圓上。

另外，在  處還有一個極點，與該處的零點重合，零極點如下圖所示。

可見，在  處由於零極點重合，並未對系統產生影響，也就是說，如果想消除某零點給系統帶來的影響，我們可以再該位置同時也放置一個極點；反之亦然。

觀察一下與Ex5的頻響的區別，是不是很有意思？

clc;clear;
fs=1e4;b=[1 0 0 0 0 0 -1];a=[0 0 0 0 0 1 -1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);
N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-30 20];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');
ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

　　

 

三、如何簡單粗暴的設計一個FIR濾波器

前面套路差不多說完了——有高通、低通、帶阻濾波器，好像還沒有帶通濾波器，下面我們就拿帶通濾波器來練練手。

要求如下：在125Hz時頻率響應達最大值，採樣頻率  。

由於125Hz是採樣頻率1000Hz的1/8，我們先均勻佈置8個零點在單位圓上，這樣就能保證有一個零點是位於125Hz處的。

我們知道，零點位置時頻率響應最小的點，我們現在是想要在125Hz（相角  ）處響應最大，貌似有矛盾——沒關係，我們可以再放個極點，將這個零點抵消掉（規律4）！

由於對稱性呢，在-125Hz（相角  ）也要放置一個極點。最終零、極點分佈如下圖：

由Ex5可知，均勻分佈的8個點，對應的傳遞函數的分子爲  ，兩個極點對應傳遞函數的分母爲  ，所以總的傳遞函數爲：

化簡一下：

這就是我們要的傳遞函數了，換成時域是什麼樣呢？

逆變換一下：

平移一下：

即

細心地童鞋可能注意到：  是未來的數啊，這顯然不太合理，那怎麼辦呢？——還記得Ex1嗎？我們可以再圓點處加極點啊，當其他零極點都在單位圓上時不影響頻率響應，如下圖：

則傳遞函數變成了：

最終時域關係變爲了：

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 0 0 0 0 0 0 0 -1];a=[1 -sqrt(2) 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);
N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-30 20];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');
ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

　　

怎麼樣，讀到這的時候你是不是已經開始躍躍欲試了？那就開始拿起筆和紙，試試吧！