簡介
廣播描述的是NumPy如何計算不同形狀的數組之間的運算。如果是較大的矩陣和較小的矩陣進行運算的話，較小的矩陣就會被廣播，從而保證運算的正確進行。
本文將會以具體的例子詳細講解NumPy中廣播的使用。
基礎廣播
正常情況下，兩個數組需要進行運算，那麼每個數組的對象都需要有一個相對應的值進行計算纔可以。比如下面的例子：
a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
b = np.array([2.0, 2.0, 2.0])
a * b
array([ 2., 4., 6.])
但是如果使用Numpy的廣播特性，那麼就不必須元素的個數準確對應。
比如，我們可以講一個數組乘以常量：
a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = 2.0
>>> a * b
array([ 2., 4., 6.])
下面的例子和上面的例子是等價的，Numpy會自動將b進行擴展。
NumPy足夠聰明，可以使用原始標量值而無需實際製作副本，從而使廣播操作儘可能地節省內存並提高計算效率。
第二個示例中的代碼比第一個示例中的代碼更有效，因爲廣播在乘法過程中移動的內存更少（b是標量而不是數組）。
廣播規則
如果兩個數組操作，NumPy會對兩個數組的對象進行比較，從最後一個維度開始，如果兩個數組的維度滿足下面的兩個條件，我們就認爲這兩個數組是兼容的，可以進行運算：
- 維度中的元素個數是相同的
- 其中一個維數是1
如果上面的兩個條件不滿足的話，就會拋出異常： ValueError: operands could not be broadcast together。
維度中的元素個數是相同的，並不意味着要求兩個數組具有相同的維度個數。
比如表示顏色的256x256x3 數組，可以和一個一維的3個元素的數組相乘：
Image (3d array): 256 x 256 x 3
Scale (1d array): 3
Result (3d array): 256 x 256 x 3
相乘的時候，維度中元素個數是1的會被拉伸到和另外一個維度中的元素個數一致：
A (4d array): 8 x 1 x 6 x 1
B (3d array): 7 x 1 x 5
Result (4d array): 8 x 7 x 6 x 5
上面的例子中，第二維的1被拉伸到7，第三維的1被拉伸到6，第四維的1被拉伸到5。
還有更多的例子：
B (1d array): 1
Result (2d array): 5 x 4
A (2d array): 5 x 4
B (1d array): 4
Result (2d array): 5 x 4
A (3d array): 15 x 3 x 5
B (3d array): 15 x 1 x 5
Result (3d array): 15 x 3 x 5
A (3d array): 15 x 3 x 5
B (2d array): 3 x 5
Result (3d array): 15 x 3 x 5
A (3d array): 15 x 3 x 5
B (2d array): 3 x 1
Result (3d array): 15 x 3 x 5
下面是不匹配的例子：
A (1d array): 3
B (1d array): 4 # trailing dimensions do not match
A (2d array): 2 x 1
B (3d array): 8 x 4 x 3 # second from last dimensions mismatched
再舉個實際代碼的例子：
>>> x = np.arange(4)
>>> xx = x.reshape(4,1)
>>> y = np.ones(5)
>>> z = np.ones((3,4))
>>> x.shape
(4,)
>>> y.shape
(5,)
>>> x + y
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,) (5,)
>>> xx.shape
(4, 1)
>>> y.shape
(5,)
>>> (xx + y).shape
(4, 5)
>>> xx + y
array([[ 1., 1., 1., 1., 1.],
[ 2., 2., 2., 2., 2.],
[ 3., 3., 3., 3., 3.],
[ 4., 4., 4., 4., 4.]])
>>> x.shape
(4,)
>>> z.shape
(3, 4)
>>> (x + z).shape
(3, 4)
>>> x + z
array([[ 1., 2., 3., 4.],
[ 1., 2., 3., 4.],
[ 1., 2., 3., 4.]])
廣播還提供了一個非常方便的進行兩個1維數組進行外部乘積的運算：
>>> a = np.array([0.0, 10.0, 20.0, 30.0])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> a[:, np.newaxis] + b
array([[ 1., 2., 3.],
[ 11., 12., 13.],
[ 21., 22., 23.],
[ 31., 32., 33.]])
其中a[:, np.newaxis] 將1維的數組轉換成爲4維的數組：
In [230]: a[:, np.newaxis]
Out[230]:
array([[ 0.],
[10.],
[20.],
[30.]])
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