勢能函數
假定在狀態 \(A\) 下，構造勢能函數 \(\phi(A)\)，對於任意轉移 \(A_i\rightarrow A_j\)，滿足：
\[\phi(A_i)-\phi(A_j)=1
\]
\[i=j\Leftrightarrow\phi(A_i)=\phi(A_j)
\]
使用勢能差即可得到所求期望。不難看出這和常規列期望轉移方程有相似之處。
CF1025G Company Acquisitions
給定 \(n\) 個節點，每個節點要麼爲根，要麼父親爲根；
現在有一種操作：等概率選取兩個 不同的根 \(x\) 和 \(y\)（關心順序），將 \(y\) 的所有孩子變成根（有可能沒有），\(y\) 的父親設成 \(x\)。
該操作當且僅當只剩下一個根時結束。
詢問期望操作數，對 \(10^9+7\) 取模。\(n \le 500\)。
做法：設一棵有 \(x\) 個孩子的樹的勢能爲 \(f(x)\)，當前局面勢能 \(\phi(A)=\sum_{a_i\in A}f(a_i)\)。對於操作，假設兩棵樹的孩子分別爲 \(x\) 和 \(y\)，操作完成以後，對於先後狀態的變化關係，根據 \(x\rightarrow y\) 和 \(y\rightarrow x\) 的概率各佔一半，我們可以列出
\[(f(x)+f(y))-\left(\frac12(f(x+1)+yf(0))+\frac12(f(y+1)+xf(0))\right)=1
\]
由於是勢能，我們不關心 \(f(0)\) 的值，不妨設 \(f(0)=0\)，得到
\[f(x)+f(y)=\frac12f(x+1)+\frac12f(y+1)+1
\]
\[\Rightarrow f(x+1)+f(y+1)=(2f(x)-1)+(2f(y)-1)
\]
由於對於任意 \(x,y\) 方程均成立，我們可以寫出
\[f(x+1)=2f(x)-1
\]
解得 \(f(x)=1-2^x\)
最後求起末狀態的勢能差即可。