超現實樹（Surreal）
時隔 10 個月，我又來複盤此題啦 /se
當時蒟蒻不會這道題，胡了個三樹合併的做法，以爲 GG 但發現竟然還有 40 pts /jy
什麼是三棵樹合併？一個簡單的例子：
這是第 2 組樣例。它的答案爲 Almost Complete。對於更復雜的樹，如果其它部分完全一樣，三棵樹分別是如上的結構，那麼可以合併到一塊，例如
如果能合併成像右邊一樣是一個只包含根節點的樹，它就是 Almost Complete，否則就是 No。
於是你開始信心滿滿地開始 rush 一份線性的帶 Hash 的代碼，當你開始一組組地跑樣例時，發現 Case 5 WA 了！
如果出題人按照開始只下發前 4 組樣例，估計大多數錯解選手就會跑路看 T1 或 T3，還好他是 Almost 良心 的（bushi），補發了兩組！
此時要反思爲什麼上面是錯的。在第一幅圖中：
\({\rm grow}(\)
\()+{\rm grow}(\)
\()+{\rm grow}(\)
\()={\rm grow}(\)
\()\setminus\{\)\(\}\ne{\rm grow}(\)\()\)
發現兩者不完全等價！我們嘗試修正該方法。我們使用紅色的節點來 特殊化 被合併的節點，也就是像這樣
按照這樣，我們重新合併圖二中的樹
但是接下來又要糾結了：帶有特殊節點的合併是什麼樣的？我們不難遐想到有如下多種可能
合併的組合突然間多了很多。我們試圖來討論。但在討論前，我們想要弄明白 特殊節點 的含義，就目前來看，它表示：除了特殊節點自身一個節點的樹無法生成，其它任意子樹皆可被生成。
首先，我們要排除上圖中的 (1,4)（最右上角的），這種情況不具有意義。它表明：左右子樹同時不能爲自身。而在這樣的限制條件下，無法產生的樹的集合大小爲 無限大（令左兒子爲自身，右兒子形態任意），即使加強限制使得集合大小有限，該限制 不強於 其它七種情況，換句話說它是 沒有用的。想避免此種情況，也就是說紅色節點的個數必須 \(\le 1\)。
接着，我們來一一討論。對於對稱的情況我們可以轉化，有用的情形總結如下：
\({\rm grow}(\)
\()+{\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)\()={\rm grow}(\)\()\setminus\{\)\(~+~\)\(\}\)
\({\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)
\()={\rm grow}(\)\()\setminus\{\)\(~+~\)\(~+~\)\(\}\)
\({\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)
\()={\rm grow}(\)\()\setminus\{\)\(~+~\)\(~+~\)
\(\}\)
\({\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)
\()+{\rm grow}(\)\()={\rm grow}(\)\()\setminus\{\)\(~+~\)\(~+~\)\(\}\)
\({\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)\()={\rm grow}(\)\()\setminus\{\)\(~+~\)\(~+~\)\(~+~\)
\(\}\)
三角形表示該點構成的子樹形態任意。
發現第 3 種和第 5 種情況下，不可生成的部分中有一種情況，它可以拓展出無數種樹。這也直接指出三棵樹合併的錯誤之處了。這時發現第 5 組中：
\(\{\)\(\}+{\rm grow}(\)\()={\rm grow}(\)\()\setminus\{\)\(\}\)
利用右邊的紅點，可以把右邊的子樹“封死”，而且不難證明該條件是必要的。這樣不可生成的集合大小就是有限的了！
於是能推導出四棵樹合併：
\({\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)\()+{\rm grow}(\)\(\}+{\rm grow}(\)\()={\rm grow}(\)\()\setminus\{\)\(~+~\)\(~+~\)\(~+~\)\(\}\)
可是右邊的東西還是有點複雜？不過發現：等式右邊都滿足，由根生長的樹，卻不能在等式左邊生長出來的數目是 有限的。如果拓寬 特殊點 的定義：特殊點所在的子樹內對於數量 有限 的拓展下無法生成，除此之外其它基於原樹拓展的部分均可生成。
不難發現上述合併法則依然成立！
爲了統一，我們甚至可以
這樣就可以將四棵樹合併的策略適用於任何情況了。注意初始情況下 特殊節點 不可生成的樹爲空，但只要合併過，就一定非空，可以證明這樣轉換不會出現超出該合併法則的情況。
於是修正最開始三棵樹合併的代碼，使用 Hash 跑四棵樹合併，即可通過本題。期望複雜度 \(\mathcal O(n)\)。
這道題還要用 Hash？Too weak！這裏還有沒挖掘的性質，可以大幅降低代碼實現難度。
對於第二幅圖中的樹，它對答案是不起作用的，因爲若干次合併後會出現這樣的情況：
這與前面的推論矛盾了。什麼樣子的樹在合併的過程中不會出現這樣的情況？稍加思考可以發現，沿着主鏈合併的點一定是紅點，所以另一個方向上 不能出現合併。該種類樹的形態：有一條主鏈，然後鏈上的每一個非葉子節點要麼沒有另一個孩子，要麼有。
這跟官方題解中 樹枝 的定義一致。
於是刪掉無用的樹之後，我們可以遞歸合併。這樣就大幅簡化代碼了。複雜度仍然可以做到 \(\mathcal O(n)\)。