[CF1534G]A New Beginning

problem

網格圖上給定 \(n\) 個整點 \((x_i,y_i)\)，你初始在 \((0,0)\)，每次只能向右或者向上走一格。你在任意位置時可以給任意若干個點打標記，假設當前位置爲 \((X,Y)\)，每次給第 \(i\) 個點打標記的代價爲 \(\max(|X-x_i|,|Y-y_i|)\)。

最小化給所有點打標記的代價和。

\(n\le 8\times 10^5\)，\(0\le x_i,y_i\le 10^9\)。

sol

首先對於該題，有如下引理：假設通過點 \((x_i,y_i)\) 的直線 \(y=-x+c\)，則最小代價爲你走的路線與該直線相交時的代價。這個引理很顯然。

接下來我們把平面旋轉 \(45^{\circ}\)，讓座標點 \((x,y)\rightarrow (x',y')=(x+y,x-y)\)，這樣對於 \(x\) 相同的點，對應的直線是同一條。

設 \(f_{x,y}\) 表示在轉換後的圖上，走到 \((x,y)\) 處最小代價。假設前面橫座標最大的位置爲 \(x=a\)，則 \(f_x\leftarrow f_a\)，具體來說，有

\[f_{x,y}=\min\{f_{a,b}\}+w(x,y),y-(x-a)\le b\le y+(x-a) \]

其中 \(w(x,y)\) 表示 \(\sum_{x_i'=x}|y_i'-y|\)。這樣 DP 的複雜度爲 \(\mathcal O(n\cdot 10^9)\)，考慮優化。

首先，\(w(x,y)\) 關於 \(y\) 是凸的，對於 \(f_{a,b}\) 關於 \(b\) 如果是凸的，\(\min\{f_{a,b}\}\) 也是凸的。所以維護凸函數即可。對於 \(\min\{a,b\}\)，相當於在凸函數左半邊向左平移 \(x-a\)，右半部分向右偏移 \(x-a\)，這個偏移可以記錄到全局中。所有操作用堆維護，由此題性質，最優解從凸函數最小值轉移。複雜度 \(\mathcal O(n\log n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int N = 8e5 + 5;
int n;
struct point { int x, y; } a[N];
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
		a[i] = {x + y, x - y};
	}
	std::sort(a + 1, a + n + 1, [](point a, point b) { return a.x < b.x; });
	std::priority_queue<int> pa, pb;
	ll ans = 0; pa.push(0), pb.push(0);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ll x = a[i].x, y = a[i].y;
		ans += std::max({pa.top() - x - y, y + pb.top() - x, 0ll});
		if (-pb.top() > y - x)
			pa.push(y + x), pa.push(y + x), pb.push(-(pa.top() - 2 * x)), pa.pop();
		else
			pb.push(-(y - x)), pb.push(-(y - x)), pa.push(-pb.top() + 2 * x), pb.pop();
	}
	ans /= 2;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}