線性代數-方陣的逆陣

方陣的定義:對於矩陣Amn 當m=n時,A爲方陣;

逆陣定義:對於方陣A,使得AB = I = BA,則BA的逆陣。(I爲單位矩陣

定理:

A爲可逆矩陣,則其逆陣唯一,用符號A-1表示,記作: AA-1 = I = A-1A。

可逆矩陣爲非退化矩陣,不存在逆陣的方陣爲退化矩陣。

  • 1、若A可逆則,A-1可逆 且(A-1-1 = A
  • 2、若k爲實數且不等於0,則kA也可逆,且 (kA)-1 = k-1A-1
  • 3、若A、B爲同階可逆矩陣,則AB也可逆,(AB)-1 = B-1A-1
  • 4、若A可逆,則A'也可逆,(A')-1 = (A-1)'。

證1: 對於任意方陣A

根據逆陣的定義,存在矩陣B,使得AB = I 有:

 根據矩陣的乘法有:a+2b =1;c+2d = 0;3a+4b = 0,3c+4d = 1; a=-2、b=3/2、c=1、d=-1/2。即:

 則B爲A 的逆陣,相同方法計算出B 的逆陣爲:

 即(A-1-1 = A。

 

證2:

對於任意方陣A 和實數k(k不等於0),設k = 2則:

     

kA的逆陣有:

 k-1A-1爲:

 則:(kA)-1 = k-1 A-1

 

 證3:

設:

 

  

  

 

 

 證4:

 設:

    

     

即:(A')-1 = (A-1)'。

 

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