相機中的透視投影幾何——討論相機中的正交投影，弱透視投影以及透視的一些性質
前言
相機中的成像其本質是從3D實體世界中的物體投影到2D成像平面上，在這個過程中存在着許多投影相關的內容，本文討論了一些透視投影的內容，
相機的針孔模型
我們曾經在[1]中討論過關於相機的針孔模型的話題，這裏我們要再次提起下這個模型。針孔模型(pinhole model) 是最簡單的可以成像的“設備”，然而其可以精確地得到 透視投影(Perspective Projection) 的幾何信息，這裏所說的透視投影，定義爲：
將三維物體的信息映射到二維平面上，稱之爲透視投影。( Such a mapping from three dimensions onto two dimensions is called perspective projection. )
Fig 1.1 相機的針孔模型及其透視投影成像。
在針孔模型中，光線通過一個無限小的孔，並且在成像平面上呈現出倒像。呈現出倒像不方便我們的分析，因此我們在分析時通常假設成像平面在焦點之前，距離同樣也是焦距（未歸一化之前，歸一化之後距離就是1了，稱之爲歸一化座標系）。
透視投影的方程
我們需要用代數方式描述透視投影中的比例關係，如圖Fig 2.1所示，根據相似三角形的知識，我們有：
其中的
是焦距。聯合公式(2.1)和(2.2)，我們有透視投影公式:
Fig 2.1 透視投影示意圖。
透視投影的若干性質
多對一映射，在透視投影中，已知了投影點
之後，其實體點
並不是唯一的，而是存在於過焦點連線
上的任意一點都有可能(不過要在
之後呢，所以應該是在
的延長射線上。)
放縮和投影縮放。
當一個平面或者一條直線平行於成像平面時，透視投影的影響其實就是對這個平面/直線進行了縮放(scaling)。
當一個平面或者直線不平行於成像平面時，透視投影的會產生非線性的投影扭曲(projective distortion)，可以將其分解成平行於成像平面的分量的縮放。
焦距的若干影響
如圖Fig 2.3 所示，不同焦距有着不同的影響，我們發現，焦距越小，其視角越大，屬於廣角攝像頭(wide-angle camera)；焦距越大，其視角越小，但是分辨率會提高，屬於望遠鏡攝像頭(more telescopic)。
Fig 2.3 不同焦距的影響。
在透視投影中，在投影過程中，實際的平行關係通常不能保留下來，實際上，透視投影保留不了角度，距離等大部分的幾何關係，但是保留了直線的“直”的這個屬性。[2]
正交透視投影
注意到透視投影一般來說是非線性的，其不保留原始元素的大部分幾何屬性，比如平行，角度等，爲了分析方便，我們假設當焦距無限大時，我們在成像平面上會存在一個所謂的正交投影，這個正交投影可以保留平行關係。其每個投影線都是平行的。這個稱之爲正交投影(orthographic projection)。
弱透視投影
正交投影的尺度大小是和原始物體的大小一致的，當考慮的正交頭像的尺度縮放時，就有了弱透視投影(weak perspective projection)。
