線性代數-矩陣的初等變換

矩陣的初等變換是線性代數中的基本運算，初等變換包括三種初等行變換與三種初等列變換。分別爲：

• 對換變換，即i行與j行進行交換，記作r_i <->r_j;
• 數乘變換，非零常數k乘以矩陣的第i行，記作kr_i;
• 倍加交換，矩陣第i行的k倍加到第j行上，記作r_j + kr_i

對應關係換成列，即爲三種初等列變換。矩陣變換可以化簡矩陣、解線性方程組、求矩陣的逆矩陣。

 

行階梯形的定義：

1、對於行而言，若有零行，則零行均在非零行的下方；

2、從第一行開始，每行第一個非零元素前面的零逐行增加。

 

對於矩陣A，很顯然符合行階梯形的定義：

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
0 & 2 & 4 & 5 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

對第一行作 r1 - r2 變換得到矩陣：

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -1\\
0 & 2 & 4 & 5 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

 繼續作 0.5 r2 變換

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -1\\
0 & 1 & 2 & 5/2 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

 r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 變換

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

1/7 r3 變換

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

對於矩陣A_mxn，通過有限次初等變換可以轉換成行階梯形的形式。

A的最簡形：非零行的第一個非零元素是1，且1所在的列，非零元素均爲零。顯然最後一個行階梯形矩陣符合A的行最簡形定義。

A的標準型：左上角是一個r階的單位矩陣，其餘元素爲零。