1.爲什麼樣本方差的分母是n-1
首先給出樣本方差的計算方法：
\[S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})}^2\]
其中樣本均值
\[\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\]
總體方差（在總體均值$\mu$已知的情況下）的定義是
\[{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\mu)}^2\]
那爲什麼樣本方差的分母要使用n-1而不是n，證明如下：
======插入：證明需要用到以下性質======
（1）期望的線性可加性：若$X$和$Y$是兩個隨機變量，則他們的期望的和等於和的期望，即
\[E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\]
（2）方差的性質
若$X$和$Y$相互獨立，則
\[D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY\]
（3）若總體$X$的均值、方差均存在，且$EX=\mu$，$DX={\sigma}^2$，則
\[E\bar{X}=\mu\]
\[D\bar{X}=\frac{\sigma^2}{n}\]
證明：
\[E\bar{X}=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{EX_i}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}EX=\mu\]
\[D\bar{X}=D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}{DX_i}=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}DX=\frac{1}{n^2}n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}\]
======
\[E\left(S^2\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-\mu+\mu-\bar{X}\right)^2\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\left(X_i-\mu\right)^2-2(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+\left(\bar{X}-\mu\right)^2\right)\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}{\left(X_i-\mu\right)^2-2(\bar{X}-\mu)\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\mu)}+{n\left(\bar{X}-\mu\right)}^2}\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}{\left(X_i-\mu\right)^2-2n(\bar{X}-\mu)(\bar{X}-\mu)+{n\left(\bar{X}-\mu\right)}^2}\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}{\left(X_i-\mu\right)^2-{n\left(\bar{X}-\mu\right)}^2}\right)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{E(\left(X_i-\mu\right)^2)-nE(\left(\bar{X}-\mu\right)^2)}=\frac{1}{n-1}\left(n\sigma^2-n\frac{\sigma^2}{n}\right)=\sigma^2\]
因此樣本方差$S^2$是總體方差$\sigma^2$的無偏估計。
2.什麼是無偏估計
無偏估計是用樣本統計量來估計總體參數時的一種無偏推斷。估計量的數學期望等於被估計參數的真實值，則稱此估計量爲被估計參數的無偏估計，即具有無偏性，是一種用於評價估計量優良性的準則。無偏估計的意義是：在多次重複下，它們的平均數接近所估計的參數真值。——來源於百度百科
3.軟件的計算方法
在matlab和R中，默認使用的都是樣本標準差，即分母是n-1，如下。
>> std([1,2,3])
ans =
1
> sd(c(1,2,3)) [1] 1
而在Python中，需要注意默認是用的分母爲n的標註差，需要加ddof = 1纔是樣本標準差。
import numpy as np
a=np.std([1,2,3])
b=np.std([1,2,3],ddof = 1)
print('a=',a,',b=',b)
a= 0.816496580927726 ,b= 1.0
4.關於是否有偏的測試
mus=[];
sigmas=[];
means=[];
std_ns=[];
std_n_1s=[];
mse_n=[];
mse_n_1=[];
for i=1:10000
mu=rand;
sigma=rand;
r = normrnd(mu,sigma,[1,20]);
mus=[mus,mu];
sigmas=[sigmas,sigma];
means=[means,mean(r)];
std_ns=[std_ns,std_n(r)];
std_n_1s=[std_n_1s,std_n_1(r)];
mse_n=[mse_n,mean(std_ns-sigmas)];
mse_n_1=[mse_n_1,mean(std_n_1s-sigmas)];
end
plot(mse_n);hold on;plot(mse_n_1);
hold off;
legend('std n','std n-1');
function s=std_n(x)
s=sqrt(sum((x-mean(x)).^2)/length(x));
end
function s=std_n_1(x)
s=sqrt(sum((x-mean(x)).^2)/(length(x)-1));
end
可以看到，使用n-1爲分母計算出的比n更加精確。